CS_learn/hello-algo
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53
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md
View File

@@ -304,7 +304,18 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="min_cost_climbing_stairs_dp.rb"
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp}
### 爬樓梯最小代價：動態規劃 ###
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost)
n = cost.length - 1
return cost[n] if n == 1 || n == 2
# 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp = Array.new(n + 1, 0)
# 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
# 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
(3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = [dp[i - 1], dp[i - 2]].min + cost[i] }
dp[n]
end
```
=== "Zig"
@@ -569,7 +580,27 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="min_cost_climbing_stairs_dp.rb"
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp_comp}
### 爬樓梯最小代價：動態規劃 ###
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost)
n = cost.length - 1
return cost[n] if n == 1 || n == 2
# 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp = Array.new(n + 1, 0)
# 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
# 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
(3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = [dp[i - 1], dp[i - 2]].min + cost[i] }
dp[n]
end
# 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃
def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost)
n = cost.length - 1
return cost[n] if n == 1 || n == 2
a, b = cost[1], cost[2]
(3...(n + 1)).each { |i| a, b = b, [a, b].min + cost[i] }
b
end
```
=== "Zig"
@@ -935,7 +966,23 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_constraint_dp.rb"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_constraint_dp}
### 帶約束爬樓梯：動態規劃 ###
def climbing_stairs_constraint_dp(n)
return 1 if n == 1 || n == 2
# 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp = Array.new(n + 1) { Array.new(3, 0) }
# 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
# 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in 3...(n + 1)
dp[i][1] = dp[i - 1][2]
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
end
dp[n][1] + dp[n][2]
end
```
=== "Zig"

65
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
View File

@@ -369,7 +369,18 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="min_path_sum.rb"
[class]{}-[func]{min_path_sum_dfs}
### 最小路徑和：暴力搜尋 ###
def min_path_sum_dfs(grid, i, j)
# 若為左上角單元格，則終止搜尋
return grid[i][j] if i == 0 && j == 0
# 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
return Float::INFINITY if i < 0 || j < 0
# 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
up = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j)
left = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1)
# 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
[left, up].min + grid[i][j]
end
```
=== "Zig"
@@ -736,7 +747,20 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="min_path_sum.rb"
[class]{}-[func]{min_path_sum_dfs_mem}
### 最小路徑和：記憶化搜尋 ###
def min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j)
# 若為左上角單元格，則終止搜尋
return grid[0][0] if i == 0 && j == 0
# 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
return Float::INFINITY if i < 0 || j < 0
# 若已有記錄，則直接返回
return mem[i][j] if mem[i][j] != -1
# 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j)
left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1)
# 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
mem[i][j] = [left, up].min + grid[i][j]
end
```
=== "Zig"
@@ -1121,7 +1145,24 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="min_path_sum.rb"
[class]{}-[func]{min_path_sum_dp}
### 最小路徑和：動態規劃 ###
def min_path_sum_dp(grid)
n, m = grid.length, grid.first.length
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(n) { Array.new(m, 0) }
dp[0][0] = grid[0][0]
# 狀態轉移：首行
(1...m).each { |j| dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j] }
# 狀態轉移：首列
(1...n).each { |i| dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0] }
# 狀態轉移：其餘行和列
for i in 1...n
for j in 1...m
dp[i][j] = [dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]].min + grid[i][j]
end
end
dp[n -1][m -1]
end
```
=== "Zig"
@@ -1521,7 +1562,23 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="min_path_sum.rb"
[class]{}-[func]{min_path_sum_dp_comp}
### 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 ###
def min_path_sum_dp_comp(grid)
n, m = grid.length, grid.first.length
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(m, 0)
# 狀態轉移：首行
dp[0] = grid[0][0]
(1...m).each { |j| dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j] }
# 狀態轉移：其餘行
for i in 1...n
# 狀態轉移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
# 狀態轉移：其餘列
(1...m).each { |j| dp[j] = [dp[j - 1], dp[j]].min + grid[i][j] }
end
dp[m - 1]
end
```
=== "Zig"

49
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md
View File

@@ -454,7 +454,27 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="edit_distance.rb"
[class]{}-[func]{edit_distance_dp}
### 編輯距離：動態規劃 ###
def edit_distance_dp(s, t)
n, m = s.length, t.length
dp = Array.new(n + 1) { Array.new(m + 1, 0) }
# 狀態轉移：首行首列
(1...(n + 1)).each { |i| dp[i][0] = i }
(1...(m + 1)).each { |j| dp[0][j] = j }
# 狀態轉移：其餘行和列
for i in 1...(n + 1)
for j in 1...(m +1)
if s[i - 1] == t[j - 1]
# 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
else
# 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[i][j] = [dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]].min + 1
end
end
end
dp[n][m]
end
```
=== "Zig"
@@ -949,7 +969,32 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="edit_distance.rb"
[class]{}-[func]{edit_distance_dp_comp}
### 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 ###
def edit_distance_dp_comp(s, t)
n, m = s.length, t.length
dp = Array.new(m + 1, 0)
# 狀態轉移：首行
(1...(m + 1)).each { |j| dp[j] = j }
# 狀態轉移：其餘行
for i in 1...(n + 1)
# 狀態轉移：首列
leftup = dp.first # 暫存 dp[i-1, j-1]
dp[0] += 1
# 狀態轉移：其餘列
for j in 1...(m + 1)
temp = dp[j]
if s[i - 1] == t[j - 1]
# 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
dp[j] = leftup
else
# 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
dp[j] = [dp[j - 1], dp[j], leftup].min + 1
end
leftup = temp # 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
end
end
dp[m]
end
```
=== "Zig"

81
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
View File

@@ -395,9 +395,29 @@ comments: true
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_backtrack.rb"
[class]{}-[func]{backtrack}
### 回溯 ###
def backtrack(choices, state, n, res)
# 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
res[0] += 1 if state == n
# 走訪所有選擇
for choice in choices
# 剪枝：不允許越過第 n 階
next if state + choice > n
[class]{}-[func]{climbing_stairs_backtrack}
# 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res)
end
# 回退
end
### 爬樓梯：回溯 ###
def climbing_stairs_backtrack(n)
choices = [1, 2] # 可選擇向上爬 1 階或 2 階
state = 0 # 從第 0 階開始爬
res = [0] # 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(choices, state, n, res)
res.first
end
```
=== "Zig"
@@ -694,9 +714,18 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_dfs.rb"
[class]{}-[func]{dfs}
### 搜尋 ###
def dfs(i)
# 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
return i if i == 1 || i == 2
# dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
end
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs}
### 爬樓梯：搜尋 ###
def climbing_stairs_dfs(n)
dfs(n)
end
```
=== "Zig"
@@ -1065,9 +1094,25 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_dfs_mem.rb"
[class]{}-[func]{dfs}
### 記憶化搜尋 ###
def dfs(i, mem)
# 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
return i if i == 1 || i == 2
# 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
return mem[i] if mem[i] != -1
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs_mem}
# dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
# 記錄 dp[i]
mem[i] = count
end
### 爬樓梯：記憶化搜尋 ###
def climbing_stairs_dfs_mem(n)
# mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
mem = Array.new(n + 1, -1)
dfs(n, mem)
end
```
=== "Zig"
@@ -1359,7 +1404,19 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_dp.rb"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp}
### 爬樓梯：動態規劃 ###
def climbing_stairs_dp(n)
return n if n == 1 || n == 2
# 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp = Array.new(n + 1, 0)
# 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1], dp[2] = 1, 2
# 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
(3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] }
dp[n]
end
```
=== "Zig"
@@ -1610,7 +1667,15 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_dp.rb"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp_comp}
### 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 ###
def climbing_stairs_dp_comp(n)
return n if n == 1 || n == 2
a, b = 1, 2
(3...(n + 1)).each { a, b = b, a + b }
b
end
```
=== "Zig"

69
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
View File

@@ -324,7 +324,18 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="knapsack.rb"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs}
### 0-1 背包：暴力搜尋 ###
def knapsack_dfs(wgt, val, i, c)
# 若已選完所有物品或背包無剩餘容量，則返回價值 0
return 0 if i == 0 || c == 0
# 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包
return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c) if wgt[i - 1] > c
# 計算不放入和放入物品 i 的最大價值
no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
# 返回兩種方案中價值更大的那一個
[no, yes].max
end
```
=== "Zig"
@@ -700,7 +711,20 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="knapsack.rb"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs_mem}
### 0-1 背包：記憶化搜尋 ###
def knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i, c)
# 若已選完所有物品或背包無剩餘容量，則返回價值 0
return 0 if i == 0 || c == 0
# 若已有記錄，則直接返回
return mem[i][c] if mem[i][c] != -1
# 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包
return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c) if wgt[i - 1] > c
# 計算不放入和放入物品 i 的最大價值
no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
# 記錄並返回兩種方案中價值更大的那一個
mem[i][c] = [no, yes].max
end
```
=== "Zig"
@@ -1059,7 +1083,25 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="knapsack.rb"
[class]{}-[func]{knapsack_dp}
### 0-1 背包：動態規劃 ###
def knapsack_dp(wgt, val, cap)
n = wgt.length
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(n + 1) { Array.new(cap + 1, 0) }
# 狀態轉移
for i in 1...(n + 1)
for c in 1...(cap + 1)
if wgt[i - 1] > c
# 若超過背包容量，則不選物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c]
else
# 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
dp[i][c] = [dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
end
end
end
dp[n][cap]
end
```
=== "Zig"
@@ -1446,7 +1488,26 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="knapsack.rb"
[class]{}-[func]{knapsack_dp_comp}
### 0-1 背包：空間最佳化後的動態規劃 ###
def knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
n = wgt.length
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(cap + 1, 0)
# 狀態轉移
for i in 1...(n + 1)
# 倒序走訪
for c in cap.downto(1)
if wgt[i - 1] > c
# 若超過背包容量，則不選物品 i
dp[c] = dp[c]
else
# 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
dp[c] = [dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
end
end
end
dp[cap]
end
```
=== "Zig"

151
zh-Hant/docs/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md
View File

@@ -350,7 +350,25 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="unbounded_knapsack.rb"
[class]{}-[func]{unbounded_knapsack_dp}
### 完全背包：動態規劃 ###
def unbounded_knapsack_dp(wgt, val, cap)
n = wgt.length
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(n + 1) { Array.new(cap + 1, 0) }
# 狀態轉移
for i in 1...(n + 1)
for c in 1...(cap + 1)
if wgt[i - 1] > c
# 若超過背包容量，則不選物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c]
else
# 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
dp[i][c] = [dp[i - 1][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
end
end
end
dp[n][cap]
end
```
=== "Zig"
@@ -709,7 +727,46 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="unbounded_knapsack.rb"
[class]{}-[func]{unbounded_knapsack_dp_comp}
### 完全背包：動態規劃 ###
def unbounded_knapsack_dp(wgt, val, cap)
n = wgt.length
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(n + 1) { Array.new(cap + 1, 0) }
# 狀態轉移
for i in 1...(n + 1)
for c in 1...(cap + 1)
if wgt[i - 1] > c
# 若超過背包容量，則不選物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c]
else
# 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
dp[i][c] = [dp[i - 1][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
end
end
end
dp[n][cap]
end
### 完全背包：空間最佳化後的動態規劃 ##3
def unbounded_knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
n = wgt.length
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(cap + 1, 0)
# 狀態轉移
for i in 1...(n + 1)
# 正序走訪
for c in 1...(cap + 1)
if wgt[i -1] > c
# 若超過背包容量，則不選物品 i
dp[c] = dp[c]
else
# 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
dp[c] = [dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
end
end
end
dp[cap]
end
```
=== "Zig"
@@ -1159,7 +1216,28 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="coin_change.rb"
[class]{}-[func]{coin_change_dp}
### 零錢兌換：動態規劃 ###
def coin_change_dp(coins, amt)
n = coins.length
_MAX = amt + 1
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(n + 1) { Array.new(amt + 1, 0) }
# 狀態轉移：首行首列
(1...(amt + 1)).each { |a| dp[0][a] = _MAX }
# 狀態轉移：其餘行和列
for i in 1...(n + 1)
for a in 1...(amt + 1)
if coins[i - 1] > a
# 若超過目標金額，則不選硬幣 i
dp[i][a] = dp[i - 1][a]
else
# 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值
dp[i][a] = [dp[i - 1][a], dp[i][a - coins[i - 1]] + 1].min
end
end
end
dp[n][amt] != _MAX ? dp[n][amt] : -1
end
```
=== "Zig"
@@ -1586,7 +1664,28 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="coin_change.rb"
[class]{}-[func]{coin_change_dp_comp}
### 零錢兌換：空間最佳化後的動態規劃 ###
def coin_change_dp_comp(coins, amt)
n = coins.length
_MAX = amt + 1
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(amt + 1, _MAX)
dp[0] = 0
# 狀態轉移
for i in 1...(n + 1)
# 正序走訪
for a in 1...(amt + 1)
if coins[i - 1] > a
# 若超過目標金額，則不選硬幣 i
dp[a] = dp[a]
else
# 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值
dp[a] = [dp[a], dp[a - coins[i - 1]] + 1].min
end
end
end
dp[amt] != _MAX ? dp[amt] : -1
end
```
=== "Zig"
@@ -1999,7 +2098,27 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="coin_change_ii.rb"
[class]{}-[func]{coin_change_ii_dp}
### 零錢兌換 II：動態規劃 ###
def coin_change_ii_dp(coins, amt)
n = coins.length
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(n + 1) { Array.new(amt + 1, 0) }
# 初始化首列
(0...(n + 1)).each { |i| dp[i][0] = 1 }
# 狀態轉移
for i in 1...(n + 1)
for a in 1...(amt + 1)
if coins[i - 1] > a
# 若超過目標金額，則不選硬幣 i
dp[i][a] = dp[i - 1][a]
else
# 不選和選硬幣 i 這兩種方案之和
dp[i][a] = dp[i - 1][a] + dp[i][a - coins[i - 1]]
end
end
end
dp[n][amt]
end
```
=== "Zig"
@@ -2343,7 +2462,27 @@ $$
=== "Ruby"
```ruby title="coin_change_ii.rb"
[class]{}-[func]{coin_change_ii_dp_comp}
### 零錢兌換 II：空間最佳化後的動態規劃 ###
def coin_change_ii_dp_comp(coins, amt)
n = coins.length
# 初始化 dp 表
dp = Array.new(amt + 1, 0)
dp[0] = 1
# 狀態轉移
for i in 1...(n + 1)
# 正序走訪
for a in 1...(amt + 1)
if coins[i - 1] > a
# 若超過目標金額，則不選硬幣 i
dp[a] = dp[a]
else
# 不選和選硬幣 i 這兩種方案之和
dp[a] = dp[a] + dp[a - coins[i - 1]]
end
end
end
dp[amt]
end
```
=== "Zig"