Finetune the chapter of hashing,

divide and conquer, backtracking, tree

docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md

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     输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。
 
-**从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$ 、再选择 $3$ 、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
+从回溯算法的角度看，**我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$ 、再选择 $3$ 、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
 
-从回溯算法代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。注意，每个元素只允许被选择一次，**因此在遍历选择时，应当排除已经选择过的元素**。
+从回溯代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，**因此 `state` 中的所有元素都应该是唯一的**。
 
 如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 `state` 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
 
 ![全排列的递归树](permutations_problem.assets/permutations_i.png)
 
+### 重复选择剪枝
+
+为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 `selected` ，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。剪枝的实现原理为：
+
+- 在做出选择 `choice[i]` 后，我们就将 `selected[i]` 赋值为 $\text{True}$ ，代表它已被选择。
+- 遍历选择列表 `choices` 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。
+
+如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。
+
+![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
+
+观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$ 。
+
 ### 代码实现
 
 想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 `backtrack()` 函数中。
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     [class]{}-[func]{permutationsI}
     ```
 
-### 重复选择剪枝
-
-需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 `selected` ，它的长度与输入数组长度相等，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。我们利用 `selected` 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。
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-如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
-
-![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
-
 ## 考虑相等元素的情况
 
 !!! question
 
     输入一个整数数组，**数组中可能包含重复元素**，返回所有不重复的排列。
 
-假设输入数组为 $[1, 1, 2]$ 。为了方便区分两个重复的元素 $1$ ，接下来我们将第二个元素记为 $\hat{1}$ 。如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
+假设输入数组为 $[1, 1, 2]$ 。为了方便区分两个重复元素 $1$ ，我们将第二个 $1$ 记为 $\hat{1}$ 。
+
+如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
 
 ![重复排列](permutations_problem.assets/permutations_ii.png)
 
-那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。
+那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。
 
-观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。
+### 相等元素剪枝
 
-本质上看，**我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次**。
+观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。
+
+同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。
+
+本质上看，**我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次**。
 
 ![重复排列剪枝](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png)
 
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     [class]{}-[func]{permutationsII}
     ```
 
+假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。
+
+最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。`selected` 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 `duplicated` ，使用 $O(n^2)$ 空间。**因此空间复杂度为 $O(n^2)$** 。
+
 ### 两种剪枝对比
 
-注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：
+请注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都用作剪枝，但两者的目标不同：
 
-- **剪枝条件一**：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
-- **剪枝条件二**：每轮选择（即每个开启的 `backtrack` 函数）都包含一个 `duplicated` 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次，以避免产生重复的搜索分支。
+- **重复选择剪枝**：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
+- **相等元素剪枝**：每轮选择（即每个开启的 `backtrack` 函数）都包含一个 `duplicated` 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次。
 
 下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
 
 ![两种剪枝条件的作用范围](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png)
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-### 复杂度分析
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-假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。
-
-最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。`selected` 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 `duplicated` ，使用 $O(n^2)$ 空间。因此，**全排列 I 的空间复杂度为 $O(n)$ ，全排列 II 的空间复杂度为 $O(n^2)$** 。