Finetune the chapter of hashing,

divide and conquer, backtracking, tree

docs/chapter_tree/array_representation_of_tree.md

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 ## 表示完美二叉树
 
-先分析一个简单案例，给定一个完美二叉树，我们将节点按照层序遍历的顺序编号（从 $0$ 开始），此时每个节点都对应唯一的索引。
+先分析一个简单案例。给定一个完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。
 
 根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。
 
 ![完美二叉树的数组表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_binary_tree.png)
 
-**映射公式的作用相当于链表中的指针**。如果我们将节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，那么对于数组中的任意节点，我们都可以通过映射公式来访问其子节点。
+**映射公式的角色相当于链表中的指针**。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。
 
 ## 表示任意二叉树
 
-然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 $\text{None}$ ，而层序遍历序列并不包含这些 $\text{None}$ 。我们无法仅凭该序列来推测 $\text{None}$ 的数量和分布位置，**这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列**。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。
+然而完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层，通常存在许多 $\text{None}$ 。由于层序遍历序列并不包含这些 $\text{None}$ ，因此我们无法仅凭该序列来推测 $\text{None}$ 的数量和分布位置。**这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列**。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。
 
 ![层序遍历序列对应多种二叉树可能性](array_representation_of_tree.assets/array_representation_without_empty.png)
 
-为了解决此问题，**我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 $\text{None}$**。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
+为了解决此问题，**我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 $\text{None}$** 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
 
 === "Java"
 
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     ```python title=""
     # 二叉树的数组表示
-    # 直接使用 None 来表示空位
+    # 使用 None 来表示空位
     tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
     ```
 
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     ```javascript title=""
     /* 二叉树的数组表示 */
-    // 直接使用 null 来表示空位
+    // 使用 null 来表示空位
     let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
     ```
 
@@ -66,7 +66,7 @@
 
     ```typescript title=""
     /* 二叉树的数组表示 */
-    // 直接使用 null 来表示空位
+    // 使用 null 来表示空位
     let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
     ```
 
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 ![任意类型二叉树的数组表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
 
-以下为数组表示下二叉树的实现，包括：
+值得说明的是，**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾完全二叉树的定义，$\text{None}$ 只出现在最底层且靠右的位置，**因此所有 $\text{None}$ 一定出现在层序遍历序列的末尾**。这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 $\text{None}$ ，非常方便。
 
-- 获取节点数量、节点值、左（右）子节点、父节点等基础操作；
-- 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历的节点值序列；
+![完全二叉树的数组表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)
+
+如下代码给出了数组表示下的二叉树的简单实现，包括以下操作：
+
+- 给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点；
+- 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列；
 
 === "Java"
 
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 ## 优势与局限性
 
-二叉树的数组表示存在以下优点：
+二叉树的数组表示的优点包括：
 
-- 数组存储在连续的内存空间中，缓存友好，访问与遍历速度较快；
+- 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快；
 - 不需要存储指针，比较节省空间；
 - 允许随机访问节点；
 
 然而，数组表示也具有一些局限性：
 
-- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
+- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树；
 - 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低；
-- 当二叉树中存在大量 $\text{None}$ 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。
-
-**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾完全二叉树的定义，$\text{None}$ 只出现在最底层且靠右的位置，**这意味着所有 $\text{None}$ 一定出现在层序遍历序列的末尾**。因此，在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 $\text{None}$ 。
-
-![完全二叉树的数组表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)
+- 当二叉树中存在大量 $\text{None}$ 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低；