CS_learn/hello-algo
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refactor: Replace 结点 with 节点 (#452)

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Yudong Jin
2023-04-09 04:32:17 +08:00
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132
docs/chapter_tree/avl_tree.md
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@@ -2,15 +2,15 @@
在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。
如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
如下图所示，执行两步删除节点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
![AVL 树在删除结点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png)
![AVL 树在删除节点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png)
再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
再比如，在以下完美二叉树中插入两个节点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
![AVL 树在插入结点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png)
![AVL 树在插入节点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png)
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除节点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
换言之，在频繁增删查改的使用场景中，AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率，具有很好的应用价值。
@@ -18,19 +18,19 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质，因此又被称为「平衡二叉搜索树」。
### 结点高度
### 节点高度
在 AVL 树的操作中，需要获取结点「高度 Height」，所以给 AVL 树的结点类添加 `height` 变量。
在 AVL 树的操作中，需要获取节点「高度 Height」，所以给 AVL 树的节点类添加 `height` 变量。
=== "Java"
```java title=""
/* AVL 树结点类 */
/* AVL 树节点类 */
class TreeNode {
public int val; // 结点值
public int height; // 结点高度
public TreeNode left; // 左子结点
public TreeNode right; // 右子结点
public int val; // 节点值
public int height; // 节点高度
public TreeNode left; // 左子节点
public TreeNode right; // 右子节点
public TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
@@ -38,12 +38,12 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
=== "C++"
```cpp title=""
/* AVL 树结点类 */
/* AVL 树节点类 */
struct TreeNode {
int val{}; // 结点值
int height = 0; // 结点高度
TreeNode *left{}; // 左子结点
TreeNode *right{}; // 右子结点
int val{}; // 节点值
int height = 0; // 节点高度
TreeNode *left{}; // 左子节点
TreeNode *right{}; // 右子节点
TreeNode() = default;
explicit TreeNode(int x) : val(x){}
};
@@ -52,24 +52,24 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
=== "Python"
```python title=""
""" AVL 树结点类 """
""" AVL 树节点类 """
class TreeNode:
def __init__(self, val: int):
self.val: int = val # 结点值
self.height: int = 0 # 结点高度
self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子结点引用
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子结点引用
self.val: int = val # 节点值
self.height: int = 0 # 节点高度
self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子节点引用
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点引用
```
=== "Go"
```go title=""
/* AVL 树结点类 */
/* AVL 树节点类 */
type TreeNode struct {
Val int // 结点值
Height int // 结点高度
Left *TreeNode // 左子结点引用
Right *TreeNode // 右子结点引用
Val int // 节点值
Height int // 节点高度
Left *TreeNode // 左子节点引用
Right *TreeNode // 右子节点引用
}
```
@@ -77,10 +77,10 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
```javascript title=""
class TreeNode {
val; // 结点值
height; //结点高度
left; // 左子结点指针
right; // 右子结点指针
val; // 节点值
height; //节点高度
left; // 左子节点指针
right; // 右子节点指针
constructor(val, left, right, height) {
this.val = val === undefined ? 0 : val;
this.height = height === undefined ? 0 : height;
@@ -94,10 +94,10 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
```typescript title=""
class TreeNode {
val: number; // 结点值
height: number; // 结点高度
left: TreeNode | null; // 左子结点指针
right: TreeNode | null; // 右子结点指针
val: number; // 节点值
height: number; // 节点高度
left: TreeNode | null; // 左子节点指针
right: TreeNode | null; // 右子节点指针
constructor(val?: number, height?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
this.val = val === undefined ? 0 : val;
this.height = height === undefined ? 0 : height;
@@ -116,12 +116,12 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
=== "C#"
```csharp title=""
/* AVL 树结点类 */
/* AVL 树节点类 */
class TreeNode {
public int val; // 结点值
public int height; // 结点高度
public TreeNode? left; // 左子结点
public TreeNode? right; // 右子结点
public int val; // 节点值
public int height; // 节点高度
public TreeNode? left; // 左子节点
public TreeNode? right; // 右子节点
public TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
@@ -129,12 +129,12 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
=== "Swift"
```swift title=""
/* AVL 树结点类 */
/* AVL 树节点类 */
class TreeNode {
var val: Int // 结点值
var height: Int // 结点高度
var left: TreeNode? // 左子结点
var right: TreeNode? // 右子结点
var val: Int // 节点值
var height: Int // 节点高度
var left: TreeNode? // 左子节点
var right: TreeNode? // 右子节点
init(x: Int) {
val = x
@@ -149,7 +149,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
```
「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，**叶结点的高度为 0 ，空结点的高度为 -1**。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新结点的高度。
「节点高度」是最远叶节点到该节点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，**叶节点的高度为 0 ，空节点的高度为 -1**。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新节点的高度。
=== "Java"
@@ -231,9 +231,9 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
```
### 结点平衡因子
### 节点平衡因子
结点的「平衡因子 Balance Factor」是 **结点的左子树高度减去右子树高度**，并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地，我们将获取结点平衡因子封装成函数，以便后续使用。
节点的「平衡因子 Balance Factor」是 **节点的左子树高度减去右子树高度**，并定义空节点的平衡因子为 0 。同样地，我们将获取节点平衡因子封装成函数，以便后续使用。
=== "Java"
@@ -297,17 +297,17 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
!!! note
设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意节点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
## AVL 树旋转
AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡结点重新恢复平衡**。换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。
AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡**。换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。
我们将平衡因子的绝对值 $> 1$ 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况，旋转操作分为 **右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋**，接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。
我们将平衡因子的绝对值 $> 1$ 的节点称为「失衡节点」。根据节点的失衡情况，旋转操作分为 **右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋**，接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。
### Case 1 - 右旋
如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子结点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
如下图所示（节点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是 **节点 3**。我们聚焦在以该失衡节点为根节点的子树上，将该节点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
=== "<1>"
![右旋操作步骤](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step1.png)
@@ -321,11 +321,11 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
=== "<4>"
![avltree_right_rotate_step4](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step4.png)
进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
进而，如果节点 `child` 本身有右子节点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子节点。
![有 grandChild 的右旋操作](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_with_grandchild.png)
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改节点指针实现，代码如下所示。
=== "Java"
@@ -393,7 +393,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
![左旋操作](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png)
同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。
同理，若节点 `child` 本身有左子节点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子节点。
![有 grandChild 的左旋操作](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png)
@@ -461,7 +461,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
### Case 3 - 先左后右
对于下图的失衡结点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
对于下图的失衡节点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
![先左旋后右旋](avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png)
@@ -477,11 +477,11 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
![AVL 树的四种旋转情况](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png)
具体地，在代码中使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。
具体地，在代码中使用 **失衡节点的平衡因子、较高一侧子节点的平衡因子** 来确定失衡节点属于上图中的哪种情况。
<div class="center-table" markdown>
| 失衡结点的平衡因子 | 子结点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
| 失衡节点的平衡因子 | 子节点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
| ------------------ | ---------------- | ---------------- |
| $>0$ （即左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
| $>0$ （即左偏树） | $<0$ | 先左旋后右旋 |
@@ -490,7 +490,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
</div>
为方便使用，我们将旋转操作封装成一个函数。至此，**我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况，使失衡结点重新恢复平衡**。
为方便使用，我们将旋转操作封装成一个函数。至此，**我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况，使失衡节点重新恢复平衡**。
=== "Java"
@@ -554,9 +554,9 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
## AVL 树常用操作
### 插入结点
### 插入节点
「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是，在插入结点后，从该结点到根结点的路径上会出现一系列「失衡结点」。所以，**我们需要从该结点开始，从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。
「AVL 树」的节点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是，在插入节点后，从该节点到根节点的路径上会出现一系列「失衡节点」。所以，**我们需要从该节点开始，从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡**。
=== "Java"
@@ -638,9 +638,9 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
```
### 删除结点
### 删除节点
「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地，**在删除结点后，也需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。
「AVL 树」删除节点操作与「二叉搜索树」删除节点操作总体相同。类似地，**在删除节点后，也需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡**。
=== "Java"
@@ -742,9 +742,9 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```
### 查找结点
### 查找节点
「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。
「AVL 树」的节点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。
## AVL 树典型应用
@@ -753,4 +753,4 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
!!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？"
红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。
红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除节点所需的旋转操作相对更少，节点增删操作相比 AVL 树的效率更高。