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refactor: Replace 结点 with 节点 (#452)

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* Replace 结点 with 节点
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Yudong Jin
2023-04-09 04:32:17 +08:00
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62
docs/chapter_tree/binary_search_tree.md
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@@ -2,23 +2,23 @@
「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：
1. 对于根结点，左子树中所有结点的值 $<$ 根结点的值 $<$ 右子树中所有结点的值；
2. 任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件 `1.` ；
1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值；
2. 任意节点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件 `1.` ；
![二叉搜索树](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png)
## 二叉搜索树的操作
### 查找结点
### 查找节点
给定目标结点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个结点 `cur` ，从二叉树的根结点 `root` 出发，循环比较结点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系
给定目标节点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 `cur` ，从二叉树的根节点 `root` 出发，循环比较节点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系
- 若 `cur.val < num` ，说明目标结点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` ；
- 若 `cur.val > num` ，说明目标结点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` ；
- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；
- 若 `cur.val < num` ，说明目标节点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` ；
- 若 `cur.val > num` ，说明目标节点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` ；
- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点即可；
=== "<1>"
![查找结点步骤](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png)
![查找节点步骤](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png)
=== "<2>"
![bst_search_step2](binary_search_tree.assets/bst_search_step2.png)
@@ -91,16 +91,16 @@
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
### 插入结点
### 插入节点
给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：
给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：
1. **查找插入位置**：与查找操作类似，我们从根结点出发，根据当前结点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到 $\text{null}$ ）时跳出循环；
2. **在该位置插入结点**：初始化结点 `num` ，将该结点放到 $\text{null}$ 的位置 ；
1. **查找插入位置**：与查找操作类似，我们从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历到 $\text{null}$ ）时跳出循环；
2. **在该位置插入节点**：初始化节点 `num` ，将该节点放到 $\text{null}$ 的位置 ；
二叉搜索树不允许存在重复结点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。
二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将会违背其定义。因此若待插入节点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。
![在二叉搜索树中插入结点](binary_search_tree.assets/bst_insert.png)
![在二叉搜索树中插入节点](binary_search_tree.assets/bst_insert.png)
=== "Java"
@@ -162,30 +162,30 @@
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
为了插入结点，需要借助 **辅助结点 `pre`** 保存上一轮循环的结点，这样在遍历到 $\text{null}$ 时，我们也可以获取到其父结点，从而完成结点插入操作。
为了插入节点，需要借助 **辅助节点 `pre`** 保存上一轮循环的节点，这样在遍历到 $\text{null}$ 时，我们也可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
与查找结点相同，插入结点使用 $O(\log n)$ 时间。
与查找节点相同，插入节点使用 $O(\log n)$ 时间。
### 删除结点
### 删除节点
与插入结点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况：
与插入节点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除节点。接下来，根据待删除节点的子节点数量，删除操作需要分为三种情况：
**当待删除结点的子结点数量 $= 0$ 时**，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。
**当待删除节点的子节点数量 $= 0$ 时**，表明待删除节点是叶节点，直接删除即可。
![在二叉搜索树中删除结点（度为 0）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png)
![在二叉搜索树中删除节点（度为 0）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png)
**当待删除结点的子结点数量 $= 1$ 时**，将待删除结点替换为其子结点即可。
**当待删除节点的子节点数量 $= 1$ 时**，将待删除节点替换为其子节点即可。
![在二叉搜索树中删除结点（度为 1）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png)
![在二叉搜索树中删除节点（度为 1）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png)
**当待删除结点的子结点数量 $= 2$ 时**，删除操作分为三步：
**当待删除节点的子节点数量 $= 2$ 时**，删除操作分为三步：
1. 找到待删除结点在 **中序遍历序列** 中的下一个结点，记为 `nex` ；
2. 在树中递归删除结点 `nex` ；
3. 使用 `nex` 替换待删除结点；
1. 找到待删除节点在 **中序遍历序列** 中的下一个节点，记为 `nex` ；
2. 在树中递归删除节点 `nex` ；
3. 使用 `nex` 替换待删除节点；
=== "<1>"
![删除结点（度为 2）步骤](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png)
![删除节点（度为 2）步骤](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png)
=== "<2>"
![bst_remove_case3_step2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step2.png)
@@ -196,7 +196,7 @@
=== "<4>"
![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png)
删除结点操作也使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除结点 $O(\log n)$ ，获取中序遍历后继结点 $O(\log n)$ 。
删除节点操作也使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点 $O(\log n)$ ，获取中序遍历后继节点 $O(\log n)$ 。
=== "Java"
@@ -280,7 +280,7 @@
### 排序
我们知道，「中序遍历」遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子结点 $<$ 根结点 $<$ 右子结点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小结点，从而得出一条重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。
我们知道，「中序遍历」遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一条重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。
借助中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，而无需额外排序，非常高效。
@@ -317,9 +317,9 @@
## 二叉搜索树的退化
理想情况下，我们希望二叉搜索树的是“左右平衡”的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意结点。
理想情况下，我们希望二叉搜索树的是“左右平衡”的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，**则可能导致二叉树退化为链表**，此时各种操作的时间复杂度也退化之 $O(n)$ 。
如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除节点，**则可能导致二叉树退化为链表**，此时各种操作的时间复杂度也退化之 $O(n)$ 。
!!! note