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krahets
@@ -1525,3 +1525,11 @@ $$
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例如“归并排序”算法，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
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再例如“数字转化为字符串”，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。
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## 2.3.4. 权衡时间与空间
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理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
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**降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。
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选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。
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@@ -1,381 +0,0 @@
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comments: true
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# 2.4. 权衡时间与空间
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理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
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**降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为「以空间换时间」；反之，则称之为「以时间换空间」。
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选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。
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## 2.4.1. 示例题目 *
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以 LeetCode 全站第一题 [两数之和](https://leetcode.cn/problems/two-sum/) 为例。
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!!! question "两数之和"
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给定一个整数数组 `nums` 和一个整数目标值 `target` ，请你在该数组中找出“和”为目标值 `target` 的那两个整数，并返回它们的数组下标。
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你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。
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你可以按任意顺序返回答案。
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「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别对应“空间最优”和“时间最优”的两种解法。遵循时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。
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### 方法一：暴力枚举
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考虑直接遍历所有可能的组合。通过开启一个两层循环，判断两个整数的和是否为 `target` ，若是，则返回它们的索引（即下标）。
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=== "Java"
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```java title="leetcode_two_sum.java"
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/* 方法一：暴力枚举 */
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int[] twoSumBruteForce(int[] nums, int target) {
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int size = nums.length;
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// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
|
||||
for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
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for (int j = i + 1; j < size; j++) {
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if (nums[i] + nums[j] == target)
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return new int[] { i, j };
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}
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}
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return new int[0];
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}
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```
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=== "C++"
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||||
```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
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||||
/* 方法一：暴力枚举 */
|
||||
vector<int> twoSumBruteForce(vector<int> &nums, int target) {
|
||||
int size = nums.size();
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||||
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
|
||||
for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
|
||||
for (int j = i + 1; j < size; j++) {
|
||||
if (nums[i] + nums[j] == target)
|
||||
return {i, j};
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}
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||||
}
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return {};
|
||||
}
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```
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||||
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||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
```python title="leetcode_two_sum.py"
|
||||
def two_sum_brute_force(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
|
||||
"""方法一：暴力枚举"""
|
||||
# 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
|
||||
for i in range(len(nums) - 1):
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||||
for j in range(i + 1, len(nums)):
|
||||
if nums[i] + nums[j] == target:
|
||||
return [i, j]
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return []
|
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```
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||||
=== "Go"
|
||||
|
||||
```go title="leetcode_two_sum.go"
|
||||
/* 方法一：暴力枚举 */
|
||||
func twoSumBruteForce(nums []int, target int) []int {
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||||
size := len(nums)
|
||||
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
|
||||
for i := 0; i < size-1; i++ {
|
||||
for j := i + 1; i < size; j++ {
|
||||
if nums[i]+nums[j] == target {
|
||||
return []int{i, j}
|
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}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return nil
|
||||
}
|
||||
```
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||||
|
||||
=== "JavaScript"
|
||||
|
||||
```javascript title="leetcode_two_sum.js"
|
||||
/* 方法一：暴力枚举 */
|
||||
function twoSumBruteForce(nums, target) {
|
||||
const n = nums.length;
|
||||
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
|
||||
for (let i = 0; i < n; i++) {
|
||||
for (let j = i + 1; j < n; j++) {
|
||||
if (nums[i] + nums[j] === target) {
|
||||
return [i, j];
|
||||
}
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}
|
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}
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||||
return [];
|
||||
}
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||||
```
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||||
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||||
=== "TypeScript"
|
||||
|
||||
```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
|
||||
/* 方法一：暴力枚举 */
|
||||
function twoSumBruteForce(nums: number[], target: number): number[] {
|
||||
const n = nums.length;
|
||||
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
|
||||
for (let i = 0; i < n; i++) {
|
||||
for (let j = i + 1; j < n; j++) {
|
||||
if (nums[i] + nums[j] === target) {
|
||||
return [i, j];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return [];
|
||||
};
|
||||
```
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||||
|
||||
=== "C"
|
||||
|
||||
```c title="leetcode_two_sum.c"
|
||||
[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
|
||||
```
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||||
|
||||
=== "C#"
|
||||
|
||||
```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
|
||||
/* 方法一：暴力枚举 */
|
||||
int[] twoSumBruteForce(int[] nums, int target)
|
||||
{
|
||||
int size = nums.Length;
|
||||
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
|
||||
for (int i = 0; i < size - 1; i++)
|
||||
{
|
||||
for (int j = i + 1; j < size; j++)
|
||||
{
|
||||
if (nums[i] + nums[j] == target)
|
||||
return new int[] { i, j };
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return new int[0];
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title="leetcode_two_sum.swift"
|
||||
/* 方法一：暴力枚举 */
|
||||
func twoSumBruteForce(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
|
||||
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
|
||||
for i in nums.indices.dropLast() {
|
||||
for j in nums.indices.dropFirst(i + 1) {
|
||||
if nums[i] + nums[j] == target {
|
||||
return [i, j]
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return [0]
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
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||||
=== "Zig"
|
||||
|
||||
```zig title="leetcode_two_sum.zig"
|
||||
// 方法一：暴力枚举
|
||||
fn twoSumBruteForce(nums: []i32, target: i32) ?[2]i32 {
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||||
var size: usize = nums.len;
|
||||
var i: usize = 0;
|
||||
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
|
||||
while (i < size - 1) : (i += 1) {
|
||||
var j = i + 1;
|
||||
while (j < size) : (j += 1) {
|
||||
if (nums[i] + nums[j] == target) {
|
||||
return [_]i32{@intCast(i32, i), @intCast(i32, j)};
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return null;
|
||||
}
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||||
```
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||||
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||||
该方法的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ ，**属于以时间换空间**。此方法时间复杂度太高，在大数据量下非常耗时。
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||||
### 方法二：辅助哈希表
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考虑借助一个哈希表，key-value 分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组中的每个元素 num，并执行：
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1. 判断数字 `target - num` 是否在哈希表中，若是则直接返回该两个元素的索引；
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||||
2. 将元素 `num` 和其索引添加进哈希表；
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||||
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||||
=== "Java"
|
||||
|
||||
```java title="leetcode_two_sum.java"
|
||||
/* 方法二：辅助哈希表 */
|
||||
int[] twoSumHashTable(int[] nums, int target) {
|
||||
int size = nums.length;
|
||||
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
|
||||
Map<Integer, Integer> dic = new HashMap<>();
|
||||
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
|
||||
for (int i = 0; i < size; i++) {
|
||||
if (dic.containsKey(target - nums[i])) {
|
||||
return new int[] { dic.get(target - nums[i]), i };
|
||||
}
|
||||
dic.put(nums[i], i);
|
||||
}
|
||||
return new int[0];
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
=== "C++"
|
||||
|
||||
```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
|
||||
/* 方法二：辅助哈希表 */
|
||||
vector<int> twoSumHashTable(vector<int> &nums, int target) {
|
||||
int size = nums.size();
|
||||
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
|
||||
unordered_map<int, int> dic;
|
||||
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
|
||||
for (int i = 0; i < size; i++) {
|
||||
if (dic.find(target - nums[i]) != dic.end()) {
|
||||
return {dic[target - nums[i]], i};
|
||||
}
|
||||
dic.emplace(nums[i], i);
|
||||
}
|
||||
return {};
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
```python title="leetcode_two_sum.py"
|
||||
def two_sum_hash_table(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
|
||||
"""方法二：辅助哈希表"""
|
||||
# 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
|
||||
dic = {}
|
||||
# 单层循环，时间复杂度 O(n)
|
||||
for i in range(len(nums)):
|
||||
if target - nums[i] in dic:
|
||||
return [dic[target - nums[i]], i]
|
||||
dic[nums[i]] = i
|
||||
return []
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Go"
|
||||
|
||||
```go title="leetcode_two_sum.go"
|
||||
/* 方法二：辅助哈希表 */
|
||||
func twoSumHashTable(nums []int, target int) []int {
|
||||
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
|
||||
hashTable := map[int]int{}
|
||||
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
|
||||
for idx, val := range nums {
|
||||
if preIdx, ok := hashTable[target-val]; ok {
|
||||
return []int{preIdx, idx}
|
||||
}
|
||||
hashTable[val] = idx
|
||||
}
|
||||
return nil
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "JavaScript"
|
||||
|
||||
```javascript title="leetcode_two_sum.js"
|
||||
/* 方法二：辅助哈希表 */
|
||||
function twoSumHashTable(nums, target) {
|
||||
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
|
||||
let m = {};
|
||||
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
|
||||
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
|
||||
if (m[nums[i]] !== undefined) {
|
||||
return [m[nums[i]], i];
|
||||
} else {
|
||||
m[target - nums[i]] = i;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return [];
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "TypeScript"
|
||||
|
||||
```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
|
||||
/* 方法二：辅助哈希表 */
|
||||
function twoSumHashTable(nums: number[], target: number): number[] {
|
||||
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
|
||||
let m: Map<number, number> = new Map();
|
||||
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
|
||||
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
|
||||
let index = m.get(nums[i]);
|
||||
if (index !== undefined) {
|
||||
return [index, i];
|
||||
} else {
|
||||
m.set(target - nums[i], i);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return [];
|
||||
};
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C"
|
||||
|
||||
```c title="leetcode_two_sum.c"
|
||||
[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C#"
|
||||
|
||||
```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
|
||||
/* 方法二：辅助哈希表 */
|
||||
int[] twoSumHashTable(int[] nums, int target)
|
||||
{
|
||||
int size = nums.Length;
|
||||
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
|
||||
Dictionary<int, int> dic = new();
|
||||
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
|
||||
for (int i = 0; i < size; i++)
|
||||
{
|
||||
if (dic.ContainsKey(target - nums[i]))
|
||||
{
|
||||
return new int[] { dic[target - nums[i]], i };
|
||||
}
|
||||
dic.Add(nums[i], i);
|
||||
}
|
||||
return new int[0];
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title="leetcode_two_sum.swift"
|
||||
/* 方法二：辅助哈希表 */
|
||||
func twoSumHashTable(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
|
||||
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
|
||||
var dic: [Int: Int] = [:]
|
||||
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
|
||||
for i in nums.indices {
|
||||
if let j = dic[target - nums[i]] {
|
||||
return [j, i]
|
||||
}
|
||||
dic[nums[i]] = i
|
||||
}
|
||||
return [0]
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Zig"
|
||||
|
||||
```zig title="leetcode_two_sum.zig"
|
||||
// 方法二：辅助哈希表
|
||||
fn twoSumHashTable(nums: []i32, target: i32) !?[2]i32 {
|
||||
var size: usize = nums.len;
|
||||
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
|
||||
var dic = std.AutoHashMap(i32, i32).init(std.heap.page_allocator);
|
||||
defer dic.deinit();
|
||||
var i: usize = 0;
|
||||
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
|
||||
while (i < size) : (i += 1) {
|
||||
if (dic.contains(target - nums[i])) {
|
||||
return [_]i32{dic.get(target - nums[i]).?, @intCast(i32, i)};
|
||||
}
|
||||
try dic.put(nums[i], @intCast(i32, i));
|
||||
}
|
||||
return null;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
该方法的时间复杂度为 $O(N)$ ，空间复杂度为 $O(N)$ ，**体现了以空间换时间**。尽管此方法引入了额外的空间使用，但在时间和空间的整体效率更为均衡，因此它是本题的最优解法。
|
||||
@@ -2,15 +2,15 @@
|
||||
comments: true
|
||||
---
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||||
# 2.5. 小结
|
||||
# 2.4. 小结
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### 算法效率评估
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**算法效率评估**
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- 时间效率和空间效率是评价算法性能的两个关键维度。
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- 我们可以通过实际测试来评估算法效率，但难以消除测试环境的影响，且会耗费大量计算资源。
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- 复杂度分析可以克服实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且能够揭示算法在不同数据规模下的效率。
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||||
### 时间复杂度
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**时间复杂度**
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- 时间复杂度用于衡量算法运行时间随数据量增长的趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，如在输入数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣。
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||||
- 最差时间复杂度使用大 $O$ 符号表示，即函数渐近上界，反映当 $n$ 趋向正无穷时，$T(n)$ 的增长级别。
|
||||
@@ -19,7 +19,7 @@ comments: true
|
||||
- 某些算法的时间复杂度非固定，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差、最佳、平均时间复杂度，最佳时间复杂度几乎不用，因为输入数据一般需要满足严格条件才能达到最佳情况。
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- 平均时间复杂度反映算法在随机数据输入下的运行效率，最接近实际应用中的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据分布以及综合后的数学期望。
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||||
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||||
### 空间复杂度
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**空间复杂度**
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||||
- 类似于时间复杂度，空间复杂度用于衡量算法占用空间随数据量增长的趋势。
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||||
- 算法运行过程中的相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间通常仅在递归函数中影响空间复杂度。
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