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chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/index.html

@@ -1906,6 +1906,8 @@
         
           
         
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@@ -2032,6 +2034,20 @@
 
             
           
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+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
+  
+
+            
+          
         </ul>
       </nav>
     </li>
@@ -2225,7 +2241,7 @@
 <p>给定一个楼梯，你每步可以上 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶或者 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶，每一阶楼梯上都贴有一个非负整数，表示你在该台阶所需要付出的代价。给定一个非负整数数组 <span class="arithmatex">\(cost\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(cost[i]\)</span> 表示在第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个台阶需要付出的代价，<span class="arithmatex">\(cost[0]\)</span> 为地面起始点。请计算最少需要付出多少代价才能到达顶部？</p>
 </div>
 <p>如下图所示，若第 <span class="arithmatex">\(1\)</span> , <span class="arithmatex">\(2\)</span> , <span class="arithmatex">\(3\)</span> 阶的代价分别为 <span class="arithmatex">\(1\)</span> , <span class="arithmatex">\(10\)</span> , <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，则从地面爬到第 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 阶的最小代价为 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 。</p>
-<p><img alt="爬到第 3 阶的最小代价" src="../intro_to_dynamic_programming.assets/min_cost_cs_example.png" /></p>
+<p><img alt="爬到第 3 阶的最小代价" src="../dp_problem_features.assets/min_cost_cs_example.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 爬到第 3 阶的最小代价 </p>
 
 <p>设 <span class="arithmatex">\(dp[i]\)</span> 为爬到第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 阶累计付出的代价，由于第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 阶只可能从 <span class="arithmatex">\(i - 1\)</span> 阶或 <span class="arithmatex">\(i - 2\)</span> 阶走来，因此 <span class="arithmatex">\(dp[i]\)</span> 只可能等于 <span class="arithmatex">\(dp[i - 1] + cost[i]\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(dp[i - 2] + cost[i]\)</span> 。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个，即：</p>
@@ -2341,7 +2357,7 @@ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
 </div>
 </div>
 </div>
-<p><img alt="爬楼梯最小代价的动态规划过程" src="../intro_to_dynamic_programming.assets/min_cost_cs_dp.png" /></p>
+<p><img alt="爬楼梯最小代价的动态规划过程" src="../dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 爬楼梯最小代价的动态规划过程 </p>
 
 <p>这道题同样也可以进行状态压缩，将一维压缩至零维，使得空间复杂度从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
@@ -2446,7 +2462,7 @@ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
 <p>给定一个共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 阶的楼梯，你每步可以上 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶或者 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶，<strong>但不能连续两轮跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶</strong>，请问有多少种方案可以爬到楼顶。</p>
 </div>
 <p>例如，爬上第 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 阶仅剩 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 种可行方案，其中连续三次跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。</p>
-<p><img alt="带约束爬到第 3 阶的方案数量" src="../intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_constraint_example.png" /></p>
+<p><img alt="带约束爬到第 3 阶的方案数量" src="../dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_example.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 带约束爬到第 3 阶的方案数量 </p>
 
 <p>在该问题中，<strong>下一步选择不能由当前状态（当前楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上轮楼梯阶数）有关</strong>。如果上一轮是跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶上来的，那么下一轮就必须跳 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶。</p>
@@ -2463,7 +2479,7 @@ dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\
 dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
 \end{cases}
 \]</div>
-<p><img alt="考虑约束下的递推关系" src="../intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png" /></p>
+<p><img alt="考虑约束下的递推关系" src="../dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 考虑约束下的递推关系 </p>
 
 <p>最终，返回 <span class="arithmatex">\(dp[n, 1] + dp[n, 2]\)</span> 即可，两者之和代表爬到第 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 阶的方案总数。</p>

chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html

@@ -1906,6 +1906,8 @@
         
           
         
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@@ -2053,6 +2055,20 @@
 
             
           
+            
+              
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+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
+  
+
+            
+          
         </ul>
       </nav>
     </li>
@@ -2325,12 +2341,12 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 <p class="admonition-title">Note</p>
 <p>边界条件即初始状态，在搜索中用于剪枝，在动态规划中用于初始化 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。状态转移顺序的核心是要保证在计算当前问题时，所有它依赖的更小子问题都已经被正确地计算出来。</p>
 </div>
-<p>最后，我们基于以上结果实现解法即可。熟练度较高同学可以直接写出动态规划解法，初学者可以按照“暴力搜索 <span class="arithmatex">\(\rightarrow\)</span> 记忆化搜索 <span class="arithmatex">\(\rightarrow\)</span> 动态规划” 的顺序实现。</p>
+<p>接下来，我们就可以实现动态规划代码了。然而，由于子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 <span class="arithmatex">\(\rightarrow\)</span> 记忆化搜索 <span class="arithmatex">\(\rightarrow\)</span> 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。</p>
 <h2 id="1333">13.3.3. &nbsp; 方法一：暴力搜索<a class="headerlink" href="#1333" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>从状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 开始搜索，不断分解为更小的状态 <span class="arithmatex">\([i-1, j]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\([i, j-1]\)</span> ，包括以下递归要素：</p>
 <ul>
 <li><strong>递归参数</strong>：状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> ；<strong>返回值</strong>：从 <span class="arithmatex">\([0, 0]\)</span> 到 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 的最小路径和 <span class="arithmatex">\(dp[i, j]\)</span> ；</li>
-<li><strong>终止条件</strong>：当 <span class="arithmatex">\(i = 0\)</span> 且 <span class="arithmatex">\(j = 0\)</span> 时，返回代价 <span class="arithmatex">\(grid[0][0]\)</span> ；</li>
+<li><strong>终止条件</strong>：当 <span class="arithmatex">\(i = 0\)</span> 且 <span class="arithmatex">\(j = 0\)</span> 时，返回代价 <span class="arithmatex">\(grid[0, 0]\)</span> ；</li>
 <li><strong>剪枝</strong>：当 <span class="arithmatex">\(i &lt; 0\)</span> 时或 <span class="arithmatex">\(j &lt; 0\)</span> 时索引越界，此时返回代价 <span class="arithmatex">\(+\infty\)</span> ，代表不可行；</li>
 </ul>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>

chapter_dynamic_programming/index.html

@@ -1906,6 +1906,8 @@
         
           
         
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@@ -1984,6 +1986,20 @@
 
             
           
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+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
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+          
         </ul>
       </nav>
     </li>

chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming/index.html

@@ -1906,6 +1906,8 @@
         
           
         
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+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
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+          
         </ul>
       </nav>
     </li>

chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html

@@ -18,7 +18,7 @@
         <link rel="prev" href="../dp_solution_pipeline/">
       
       
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       <meta name="generator" content="mkdocs-1.4.2, mkdocs-material-9.1.11">
@@ -1906,6 +1906,8 @@
         
           
         
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+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
+        13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
+      </a>
+    </li>
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+            
+          
         </ul>
       </nav>
     </li>
@@ -2245,7 +2261,7 @@
 <p><strong>第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表</strong></p>
 <p>在 0-1 背包问题中，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和剩余背包容量 <span class="arithmatex">\(c\)</span> ，记为 <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> 。</p>
 <p>状态 <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> 对应的子问题为：<strong>前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个物品在剩余容量为 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 的背包中的最大价值</strong>，记为 <span class="arithmatex">\(dp[i, c]\)</span> 。</p>
-<p>至此，我们得到一个尺寸为 <span class="arithmatex">\(n \times cap\)</span> 的二维 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 矩阵。</p>
+<p>需要求解的是 <span class="arithmatex">\(dp[n, cap]\)</span> ，因此需要一个尺寸为 <span class="arithmatex">\((n+1) \times (cap+1)\)</span> 的二维 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。</p>
 <p><strong>第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程</strong></p>
 <p>当我们做出物品 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的决策后，剩余的是前 <span class="arithmatex">\(i-1\)</span> 个物品的决策。因此，状态转移分为两种情况：</p>
 <ul>
@@ -2260,6 +2276,10 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 <p><strong>第三步：确定边界条件和状态转移顺序</strong></p>
 <p>当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> ，即所有 <span class="arithmatex">\(dp[i, 0]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(dp[0, c]\)</span> 都等于 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 。</p>
 <p>当前状态 <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> 从上方的状态 <span class="arithmatex">\([i-1, c]\)</span> 和左上方的状态 <span class="arithmatex">\([i-1, c-wgt[i-1]]\)</span> 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表即可。</p>
+<div class="admonition tip">
+<p class="admonition-title">Tip</p>
+<p>完成以上三步后，我们可以直接实现从底至顶的动态规划解法。而为了展示本题包含的重叠子问题，本文也同时给出从顶至底的暴力搜索和记忆化搜索解法。</p>
+</div>
 <h2 id="1341">13.4.1. &nbsp; 方法一：暴力搜索<a class="headerlink" href="#1341" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>搜索代码包含以下要素：</p>
 <ul>
@@ -2510,7 +2530,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 <p align="center"> Fig. 0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>
 
 <h2 id="1343">13.4.3. &nbsp; 方法三：动态规划<a class="headerlink" href="#1343" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 <code>dp</code> 矩阵的过程，代码如下所示。</p>
+<p>动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表的过程，代码如下所示。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:11"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label><label for="__tabbed_3_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -2627,7 +2647,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>如下图所示，时间复杂度由 <code>dp</code> 矩阵大小决定，为 <span class="arithmatex">\(O(n \times cap)\)</span> 。</p>
+<p>如下图所示，时间复杂度由数组 <code>dp</code> 大小决定，为 <span class="arithmatex">\(O(n \times cap)\)</span> 。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:14"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_5" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_6" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_7" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_8" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_9" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_10" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_11" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_12" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_13" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_14" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_4_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_4_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_4_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_4_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_4_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_4_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_4_8">&lt;8&gt;</label><label for="__tabbed_4_9">&lt;9&gt;</label><label for="__tabbed_4_10">&lt;10&gt;</label><label for="__tabbed_4_11">&lt;11&gt;</label><label for="__tabbed_4_12">&lt;12&gt;</label><label for="__tabbed_4_13">&lt;13&gt;</label><label for="__tabbed_4_14">&lt;14&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -2674,8 +2694,8 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 </div>
 </div>
 </div>
-<p><strong>最后考虑状态压缩</strong>。以上代码中的 <code>dp</code> 矩阵占用 <span class="arithmatex">\(O(n \times cap)\)</span> 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 将低至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。</p>
-<p>那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由左上方或正上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 行时，该数组存储的仍然是第 <span class="arithmatex">\(i-1\)</span> 行的状态，为了避免左边区域的格子在状态转移中被覆盖，我们应采取倒序遍历。</p>
+<p><strong>最后考虑状态压缩</strong>。以上代码中的数组 <code>dp</code> 占用 <span class="arithmatex">\(O(n \times cap)\)</span> 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 将低至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。</p>
+<p>那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由左上方或正上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 行时，该数组存储的仍然是第 <span class="arithmatex">\(i-1\)</span> 行的状态，<strong>为了避免左方区域的格子在状态转移中被覆盖，应该采取倒序遍历</strong>。</p>
 <p>以下动画展示了在单个数组下从第 <span class="arithmatex">\(i=1\)</span> 行转换至第 <span class="arithmatex">\(i=2\)</span> 行的过程。建议你思考一下正序遍历和倒序遍历的区别。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="5:6"><input checked="checked" id="__tabbed_5_1" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_2" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_3" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_4" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_5" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_6" name="__tabbed_5" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_5_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_5_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_5_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_5_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_5_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_5_6">&lt;6&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -2699,7 +2719,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 </div>
 </div>
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-<p>如以下代码所示，我们仅需将 <code>dp</code> 矩阵的第一维 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。</p>
+<p>如以下代码所示，我们仅需将数组 <code>dp</code> 的第一维 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="6:11"><input checked="checked" id="__tabbed_6_1" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_2" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_3" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_4" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_5" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_6" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_7" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_8" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_9" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_10" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_11" name="__tabbed_6" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_6_1">Java</label><label for="__tabbed_6_2">C++</label><label for="__tabbed_6_3">Python</label><label for="__tabbed_6_4">Go</label><label for="__tabbed_6_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_6_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_6_7">C</label><label for="__tabbed_6_8">C#</label><label for="__tabbed_6_9">Swift</label><label for="__tabbed_6_10">Zig</label><label for="__tabbed_6_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -2907,13 +2927,13 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
         
         
           
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+          <a href="../unbounded_knapsack_problem/" class="md-footer__link md-footer__link--next" aria-label="下一页: 13.5. &amp;nbsp; 完全背包问题（New）" rel="next">
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-                14.1. &nbsp; 编程环境安装
+                13.5. &nbsp; 完全背包问题（New）
               </div>
             </div>
             <div class="md-footer__button md-icon">