CS_learn/hello-algo
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chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md
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@@ -3,7 +3,7 @@ comments: true
status: new
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# 14.2.   动态规划问题特性
# 14.2   动态规划问题特性
在上节中，我们学习了动态规划是如何通过子问题分解来求解问题的。实际上，子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中的侧重点不同：
@@ -13,7 +13,7 @@ status: new
实际上，动态规划常用来求解最优化问题，它们不仅包含重叠子问题，还具有另外两大特性：最优子结构、无后效性。
## 14.2.1.   最优子结构
## 14.2.1   最优子结构
我们对爬楼梯问题稍作改动，使之更加适合展示最优子结构概念。
@@ -431,7 +431,7 @@ $$
}
```
## 14.2.2.   无后效性
## 14.2.2   无后效性
「无后效性」是动态规划能够有效解决问题的重要特性之一，定义为：**给定一个确定的状态，它的未来发展只与当前状态有关，而与当前状态过去所经历过的所有状态无关**。

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chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
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@@ -3,14 +3,14 @@ comments: true
status: new
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# 14.3.   动态规划解题思路
# 14.3   动态规划解题思路
上两节介绍了动态规划问题的主要特征，接下来我们一起探究两个更加实用的问题：
1. 如何判断一个问题是不是动态规划问题？
2. 求解动态规划问题该从何处入手，完整步骤是什么？
## 14.3.1.   问题判断
## 14.3.1   问题判断
总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解。然而，我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，**先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决**。
@@ -30,7 +30,7 @@ status: new
如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并在求解过程中验证它。
## 14.3.2.   问题求解步骤
## 14.3.2   问题求解步骤
动态规划的解题流程会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 $dp$ 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。

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chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md
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@@ -3,7 +3,7 @@ comments: true
status: new
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# 14.6.   编辑距离问题
# 14.6   编辑距离问题
编辑距离，也被称为 Levenshtein 距离，指两个字符串之间互相转换的最小修改次数，通常用于在信息检索和自然语言处理中度量两个序列的相似度。

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chapter_dynamic_programming/index.md
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@@ -4,7 +4,7 @@ icon: material/table-pivot
status: new
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# 14.   动态规划
# 第 14 章   动态规划
<div class="center-table" markdown>

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chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
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@@ -3,7 +3,7 @@ comments: true
status: new
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# 14.1. &nbsp; 初探动态规划
# 14.1 &nbsp; 初探动态规划
「动态规划 Dynamic Programming」是一个重要的算法范式，它将一个问题分解为一系列更小的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而大幅提升时间效率。
@@ -360,7 +360,7 @@ status: new
}
```
## 14.1.1. &nbsp; 方法一：暴力搜索
## 14.1.1 &nbsp; 方法一：暴力搜索
回溯算法通常并不显式地对问题进行拆解，而是将问题看作一系列决策步骤，通过试探和剪枝，搜索所有可能的解。
@@ -615,7 +615,7 @@ $$
以此类推，子问题中包含更小的重叠子问题，子子孙孙无穷尽也。绝大部分计算资源都浪费在这些重叠的问题上。
## 14.1.2. &nbsp; 方法二：记忆化搜索
## 14.1.2 &nbsp; 方法二：记忆化搜索
为了提升算法效率，**我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次**。为此，我们声明一个数组 `mem` 来记录每个子问题的解，并在搜索过程中这样做：
@@ -923,7 +923,7 @@ $$
<p align="center"> 图：记忆化搜索对应递归树 </p>
## 14.1.3. &nbsp; 方法三：动态规划
## 14.1.3 &nbsp; 方法三：动态规划
**记忆化搜索是一种“从顶至底”的方法**：我们从原问题（根节点）开始，递归地将较大子问题分解为较小子问题，直至解已知的最小子问题（叶节点）。之后，通过回溯将子问题的解逐层收集，构建出原问题的解。
@@ -1167,7 +1167,7 @@ $$
<p align="center"> 图：爬楼梯的动态规划过程 </p>
## 14.1.4. &nbsp; 状态压缩
## 14.1.4 &nbsp; 状态压缩
细心的你可能发现，**由于 $dp[i]$ 只与 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 有关，因此我们无需使用一个数组 `dp` 来存储所有子问题的解**，而只需两个变量滚动前进即可。

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chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
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@@ -3,7 +3,7 @@ comments: true
status: new
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# 14.4. &nbsp; 0-1 背包问题
# 14.4 &nbsp; 0-1 背包问题
背包问题是一个非常好的动态规划入门题目，是动态规划中最常见的问题形式。其具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。

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chapter_dynamic_programming/summary.md
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@@ -3,7 +3,7 @@ comments: true
status: new
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# 14.7. &nbsp; 小结
# 14.7 &nbsp; 小结
- 动态规划对问题进行分解，并通过存储子问题的解来规避重复计算，实现高效的计算效率。
- 不考虑时间的前提下，所有动态规划问题都可以用回溯（暴力搜索）进行求解，但递归树中存在大量的重叠子问题，效率极低。通过引入记忆化列表，可以存储所有计算过的子问题的解，从而保证重叠子问题只被计算一次。

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chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md
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@@ -3,11 +3,11 @@ comments: true
status: new
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# 14.5. &nbsp; 完全背包问题
# 14.5 &nbsp; 完全背包问题
在本节中，我们先求解另一个常见的背包问题：完全背包，再了解它的一种特例：零钱兑换。
## 14.5.1. &nbsp; 完全背包
## 14.5.1 &nbsp; 完全背包
!!! question
@@ -529,7 +529,7 @@ $$
}
```
## 14.5.2. &nbsp; 零钱兑换问题
## 14.5.2 &nbsp; 零钱兑换问题
背包问题是一大类动态规划问题的代表，其拥有很多的变种，例如零钱兑换问题。
@@ -1178,7 +1178,7 @@ $$
}
```
## 14.5.3. &nbsp; 零钱兑换问题 II
## 14.5.3 &nbsp; 零钱兑换问题 II
!!! question