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391
docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md Normal file
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@@ -0,0 +1,391 @@
---
comments: true
---
# 12.2   分治搜索策略
我们已经学过，搜索算法分为两大类。
- **暴力搜索**：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 $O(n)$ 。
- **自适应搜索**：它利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 的时间复杂度。
实际上，**时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的**，例如二分查找和树。
- 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
- 树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。
二分查找的分治策略如下所示。
- **问题可以被分解**：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
- **子问题是独立的**：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。
- **子问题的解无须合并**：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。
分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，**而分治搜索每轮可以排除一半选项**。
### 1.   基于分治实现二分
在之前的章节中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，数组中所有元素都是唯一的，请查找元素 `target` 。
从分治角度，我们将搜索区间 $[i, j]$ 对应的子问题记为 $f(i, j)$ 。
从原问题 $f(0, n-1)$ 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。
1. 计算搜索区间 $[i, j]$ 的中点 $m$ ，根据它排除一半搜索区间。
2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。
3. 循环第 `1.` 和 `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。
图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。
![二分查找的分治过程](binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png)
<p align="center"> 图 12-4 &nbsp; 二分查找的分治过程 </p>
在实现代码中，我们声明一个递归函数 `dfs()` 来求解问题 $f(i, j)$ 。
=== "Python"
```python title="binary_search_recur.py"
def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
"""二分查找：问题 f(i, j)"""
# 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if i > j:
return -1
# 计算中点索引 m
m = (i + j) // 2
if nums[m] < target:
# 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j)
elif nums[m] > target:
# 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1)
else:
# 找到目标元素，返回其索引
return m
def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找"""
n = len(nums)
# 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1)
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_recur.cpp"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
int n = nums.size();
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_recur.java"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_recur.cs"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int Dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return Dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return Dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int BinarySearch(int[] nums, int target) {
int n = nums.Length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return Dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_recur.go"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
func dfs(nums []int, target, i, j int) int {
// 如果区间为空，代表没有目标元素，则返回 -1
if i > j {
return -1
}
// 计算索引中点
m := i + ((j - i) >> 1)
//判断中点与目标元素大小
if nums[m] < target {
// 小于则递归右半数组
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m+1, j)
} else if nums[m] > target {
// 小于则递归左半数组
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m-1)
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
/* 二分查找 */
func binarySearch(nums []int, target int) int {
n := len(nums)
return dfs(nums, target, 0, n-1)
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_recur.swift"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
func dfs(nums: [Int], target: Int, i: Int, j: Int) -> Int {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if i > j {
return -1
}
// 计算中点索引 m
let m = (i + j) / 2
if nums[m] < target {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums: nums, target: target, i: m + 1, j: j)
} else if nums[m] > target {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums: nums, target: target, i: i, j: m - 1)
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
/* 二分查找 */
func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
let n = nums.count
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums: nums, target: target, i: 0, j: n - 1)
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_recur.js"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
function dfs(nums, target, i, j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
const m = i + ((j - i) >> 1);
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
function binarySearch(nums, target) {
const n = nums.length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_recur.ts"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
function dfs(nums: number[], target: number, i: number, j: number): number {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
const m = i + ((j - i) >> 1);
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
const n = nums.length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_recur.dart"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(List<int> nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) ~/ 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(List<int> nums, int target) {
int n = nums.length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_recur.rs"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
fn dfs(nums: &[i32], target: i32, i: i32, j: i32) -> i32 {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if i > j { return -1; }
let m: i32 = (i + j) / 2;
if nums[m as usize] < target {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if nums[m as usize] > target {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
fn binary_search(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
let n = nums.len() as i32;
// 求解问题 f(0, n-1)
dfs(nums, target, 0, n - 1)
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_recur.c"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int nums[], int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(int nums[], int target, int numsSize) {
int n = numsSize;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_recur.zig"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{binarySearch}
```

459
docs/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md Normal file
View File

@@ -0,0 +1,459 @@
---
comments: true
---
# 12.3 &nbsp; 构建二叉树问题
!!! question
给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。
![构建二叉树的示例数据](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png)
<p align="center"> 图 12-5 &nbsp; 构建二叉树的示例数据 </p>
### 1. &nbsp; 判断是否为分治问题
原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树，其是一个典型的分治问题。
- **问题可以被分解**：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
- **子问题是独立的**：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
- **子问题的解可以合并**：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。
### 2. &nbsp; 如何划分子树
根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，**但如何通过前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 来划分左子树和右子树呢**？
根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分。
- 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如图 12-5 的树对应 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
- 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如图 12-5 的树对应 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果。
1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。
3. 根据 `inorder` 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)
<p align="center"> 图 12-6 &nbsp; 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
### 3. &nbsp; 基于变量描述子树区间
根据以上划分方法，**我们已经得到根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。
- 将当前树的根节点在 `preorder` 中的索引记为 $i$ 。
- 将当前树的根节点在 `inorder` 中的索引记为 $m$ 。
- 将当前树在 `inorder` 中的索引区间记为 $[l, r]$ 。
如表 12-1 所示，通过以上变量即可表示根节点在 `preorder` 中的索引，以及子树在 `inorder` 中的索引区间。
<p align="center"> 表 12-1 &nbsp; 根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
<div class="center-table" markdown>
| | 根节点在 `preorder` 中的索引 | 子树在 `inorder` 中的索引区间 |
| ------ | -------------------------------- | ----------------------------- |
| 当前树 | $i$ | $[l, r]$ |
| 左子树 | $i + 1$ | $[l, m-1]$ |
| 右子树 | $i + 1 + (m - l)$ | $[m+1, r]$ |
</div>
请注意，右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合图 12-7 理解。
![根节点和左右子树的索引区间表示](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png)
<p align="center"> 图 12-7 &nbsp; 根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
### 4. &nbsp; 代码实现
为了提升查询 $m$ 的效率，我们借助一个哈希表 `hmap` 来存储数组 `inorder` 中元素到索引的映射。
=== "Python"
```python title="build_tree.py"
def dfs(
preorder: list[int],
inorder_map: dict[int, int],
i: int,
l: int,
r: int,
) -> TreeNode | None:
"""构建二叉树：分治"""
# 子树区间为空时终止
if r - l < 0:
return None
# 初始化根节点
root = TreeNode(preorder[i])
# 查询 m ，从而划分左右子树
m = inorder_map[preorder[i]]
# 子问题：构建左子树
root.left = dfs(preorder, inorder_map, i + 1, l, m - 1)
# 子问题：构建右子树
root.right = dfs(preorder, inorder_map, i + 1 + m - l, m + 1, r)
# 返回根节点
return root
def build_tree(preorder: list[int], inorder: list[int]) -> TreeNode | None:
"""构建二叉树"""
# 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
inorder_map = {val: i for i, val in enumerate(inorder)}
root = dfs(preorder, inorder_map, 0, 0, len(inorder) - 1)
return root
```
=== "C++"
```cpp title="build_tree.cpp"
/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode *dfs(vector<int> &preorder, unordered_map<int, int> &inorderMap, int i, int l, int r) {
// 子树区间为空时终止
if (r - l < 0)
return NULL;
// 初始化根节点
TreeNode *root = new TreeNode(preorder[i]);
// 查询 m ，从而划分左右子树
int m = inorderMap[preorder[i]];
// 子问题：构建左子树
root->left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
// 子问题：构建右子树
root->right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
// 返回根节点
return root;
}
/* 构建二叉树 */
TreeNode *buildTree(vector<int> &preorder, vector<int> &inorder) {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
unordered_map<int, int> inorderMap;
for (int i = 0; i < inorder.size(); i++) {
inorderMap[inorder[i]] = i;
}
TreeNode *root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.size() - 1);
return root;
}
```
=== "Java"
```java title="build_tree.java"
/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode dfs(int[] preorder, Map<Integer, Integer> inorderMap, int i, int l, int r) {
// 子树区间为空时终止
if (r - l < 0)
return null;
// 初始化根节点
TreeNode root = new TreeNode(preorder[i]);
// 查询 m ，从而划分左右子树
int m = inorderMap.get(preorder[i]);
// 子问题：构建左子树
root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
// 子问题：构建右子树
root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
// 返回根节点
return root;
}
/* 构建二叉树 */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
Map<Integer, Integer> inorderMap = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
inorderMap.put(inorder[i], i);
}
TreeNode root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
return root;
}
```
=== "C#"
```csharp title="build_tree.cs"
/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode Dfs(int[] preorder, Dictionary<int, int> inorderMap, int i, int l, int r) {
// 子树区间为空时终止
if (r - l < 0)
return null;
// 初始化根节点
TreeNode root = new(preorder[i]);
// 查询 m ，从而划分左右子树
int m = inorderMap[preorder[i]];
// 子问题：构建左子树
root.left = Dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
// 子问题：构建右子树
root.right = Dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
// 返回根节点
return root;
}
/* 构建二叉树 */
TreeNode BuildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
Dictionary<int, int> inorderMap = new();
for (int i = 0; i < inorder.Length; i++) {
inorderMap.TryAdd(inorder[i], i);
}
TreeNode root = Dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.Length - 1);
return root;
}
```
=== "Go"
```go title="build_tree.go"
/* 构建二叉树：分治 */
func dfsBuildTree(preorder []int, inorderMap map[int]int, i, l, r int) *TreeNode {
// 子树区间为空时终止
if r-l < 0 {
return nil
}
// 初始化根节点
root := NewTreeNode(preorder[i])
// 查询 m ，从而划分左右子树
m := inorderMap[preorder[i]]
// 子问题：构建左子树
root.Left = dfsBuildTree(preorder, inorderMap, i+1, l, m-1)
// 子问题：构建右子树
root.Right = dfsBuildTree(preorder, inorderMap, i+1+m-l, m+1, r)
// 返回根节点
return root
}
/* 构建二叉树 */
func buildTree(preorder, inorder []int) *TreeNode {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
inorderMap := make(map[int]int, len(inorder))
for i := 0; i < len(inorder); i++ {
inorderMap[inorder[i]] = i
}
root := dfsBuildTree(preorder, inorderMap, 0, 0, len(inorder)-1)
return root
}
```
=== "Swift"
```swift title="build_tree.swift"
/* 构建二叉树：分治 */
func dfs(preorder: [Int], inorderMap: [Int: Int], i: Int, l: Int, r: Int) -> TreeNode? {
// 子树区间为空时终止
if r - l < 0 {
return nil
}
// 初始化根节点
let root = TreeNode(x: preorder[i])
// 查询 m ，从而划分左右子树
let m = inorderMap[preorder[i]]!
// 子问题：构建左子树
root.left = dfs(preorder: preorder, inorderMap: inorderMap, i: i + 1, l: l, r: m - 1)
// 子问题：构建右子树
root.right = dfs(preorder: preorder, inorderMap: inorderMap, i: i + 1 + m - l, l: m + 1, r: r)
// 返回根节点
return root
}
/* 构建二叉树 */
func buildTree(preorder: [Int], inorder: [Int]) -> TreeNode? {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
let inorderMap = inorder.enumerated().reduce(into: [:]) { $0[$1.element] = $1.offset }
return dfs(preorder: preorder, inorderMap: inorderMap, i: 0, l: 0, r: inorder.count - 1)
}
```
=== "JS"
```javascript title="build_tree.js"
/* 构建二叉树：分治 */
function dfs(preorder, inorderMap, i, l, r) {
// 子树区间为空时终止
if (r - l < 0) return null;
// 初始化根节点
const root = new TreeNode(preorder[i]);
// 查询 m ，从而划分左右子树
const m = inorderMap.get(preorder[i]);
// 子问题：构建左子树
root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
// 子问题：构建右子树
root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
// 返回根节点
return root;
}
/* 构建二叉树 */
function buildTree(preorder, inorder) {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
let inorderMap = new Map();
for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
inorderMap.set(inorder[i], i);
}
const root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
return root;
}
```
=== "TS"
```typescript title="build_tree.ts"
/* 构建二叉树：分治 */
function dfs(
preorder: number[],
inorderMap: Map<number, number>,
i: number,
l: number,
r: number
): TreeNode | null {
// 子树区间为空时终止
if (r - l < 0) return null;
// 初始化根节点
const root: TreeNode = new TreeNode(preorder[i]);
// 查询 m ，从而划分左右子树
const m = inorderMap.get(preorder[i]);
// 子问题：构建左子树
root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
// 子问题：构建右子树
root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
// 返回根节点
return root;
}
/* 构建二叉树 */
function buildTree(preorder: number[], inorder: number[]): TreeNode | null {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
let inorderMap = new Map<number, number>();
for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
inorderMap.set(inorder[i], i);
}
const root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
return root;
}
```
=== "Dart"
```dart title="build_tree.dart"
/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode? dfs(
List<int> preorder,
Map<int, int> inorderMap,
int i,
int l,
int r,
) {
// 子树区间为空时终止
if (r - l < 0) {
return null;
}
// 初始化根节点
TreeNode? root = TreeNode(preorder[i]);
// 查询 m ，从而划分左右子树
int m = inorderMap[preorder[i]]!;
// 子问题：构建左子树
root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
// 子问题：构建右子树
root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
// 返回根节点
return root;
}
/* 构建二叉树 */
TreeNode? buildTree(List<int> preorder, List<int> inorder) {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
Map<int, int> inorderMap = {};
for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
inorderMap[inorder[i]] = i;
}
TreeNode? root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
return root;
}
```
=== "Rust"
```rust title="build_tree.rs"
/* 构建二叉树：分治 */
fn dfs(preorder: &[i32], inorder_map: &HashMap<i32, i32>, i: i32, l: i32, r: i32) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
// 子树区间为空时终止
if r - l < 0 { return None; }
// 初始化根节点
let root = TreeNode::new(preorder[i as usize]);
// 查询 m ，从而划分左右子树
let m = inorder_map.get(&preorder[i as usize]).unwrap();
// 子问题：构建左子树
root.borrow_mut().left = dfs(preorder, inorder_map, i + 1, l, m - 1);
// 子问题：构建右子树
root.borrow_mut().right = dfs(preorder, inorder_map, i + 1 + m - l, m + 1, r);
// 返回根节点
Some(root)
}
/* 构建二叉树 */
fn build_tree(preorder: &[i32], inorder: &[i32]) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
let mut inorder_map: HashMap<i32, i32> = HashMap::new();
for i in 0..inorder.len() {
inorder_map.insert(inorder[i], i as i32);
}
let root = dfs(preorder, &inorder_map, 0, 0, inorder.len() as i32 - 1);
root
}
```
=== "C"
```c title="build_tree.c"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Zig"
```zig title="build_tree.zig"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
=== "<1>"
![构建二叉树的递归过程](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step1.png)
=== "<2>"
![built_tree_step2](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step2.png)
=== "<3>"
![built_tree_step3](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step3.png)
=== "<4>"
![built_tree_step4](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step4.png)
=== "<5>"
![built_tree_step5](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step5.png)
=== "<6>"
![built_tree_step6](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step6.png)
=== "<7>"
![built_tree_step7](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step7.png)
=== "<8>"
![built_tree_step8](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step8.png)
=== "<9>"
![built_tree_step9](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step9.png)
<p align="center"> 图 12-8 &nbsp; 构建二叉树的递归过程 </p>
每个递归函数内的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 的划分结果如图 12-9 所示。
![每个递归函数中的划分结果](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_overall.png)
<p align="center"> 图 12-9 &nbsp; 每个递归函数中的划分结果 </p>
设树的节点数量为 $n$ ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。
哈希表存储 `inorder` 元素到索引的映射，空间复杂度为 $O(n)$ 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，使用 $O(n)$ 的栈帧空间。**因此总体空间复杂度为 $O(n)$** 。

101
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comments: true
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# 12.1 &nbsp; 分治算法
「分治 divide and conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两个步骤。
1. **分（划分阶段）**：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。
2. **治（合并阶段）**：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。
如图 12-1 所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一。
1. **分**：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。
2. **治**：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。
![归并排序的分治策略](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_merge_sort.png)
<p align="center"> 图 12-1 &nbsp; 归并排序的分治策略 </p>
## 12.1.1 &nbsp; 如何判断分治问题
一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据。
1. **问题可以被分解**：原问题可以被分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。
2. **子问题是独立的**：子问题之间是没有重叠的，互相没有依赖，可以被独立解决。
3. **子问题的解可以被合并**：原问题的解通过合并子问题的解得来。
显然，归并排序是满足以上三条判断依据的。
1. **问题可以被分解**：递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。
2. **子问题是独立的**：每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。
3. **子问题的解可以被合并**：两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。
## 12.1.2 &nbsp; 通过分治提升效率
分治不仅可以有效地解决算法问题，**往往还可以带来算法效率的提升**。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。
那么，我们不禁发问：**为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么**？换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这几步的效率为什么比直接解决原问题的效率更高？这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。
### 1. &nbsp; 操作数量优化
以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 $n$ 的数组需要 $O(n^2)$ 时间。假设我们按照图 12-2 所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要 $O(n)$ 时间，排序每个子数组需要 $O((n / 2)^2)$ 时间，合并两个子数组需要 $O(n)$ 时间，总体时间复杂度为：
$$
O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
$$
![划分数组前后的冒泡排序](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_bubble_sort.png)
<p align="center"> 图 12-2 &nbsp; 划分数组前后的冒泡排序 </p>
接下来，我们计算以下不等式，其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数：
$$
\begin{aligned}
n^2 & > \frac{n^2}{2} + 2n \newline
n^2 - \frac{n^2}{2} - 2n & > 0 \newline
n(n - 4) & > 0
\end{aligned}
$$
**这意味着当 $n > 4$ 时，划分后的操作数量更少，排序效率应该更高**。请注意，划分后的时间复杂度仍然是平方阶 $O(n^2)$ ，只是复杂度中的常数项变小了。
进一步想，**如果我们把子数组不断地再从中点划分为两个子数组**，直至子数组只剩一个元素时停止划分呢？这种思路实际上就是“归并排序”，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
再思考，**如果我们多设置几个划分点**，将原数组平均划分为 $k$ 个子数组呢？这种情况与“桶排序”非常类似，它非常适合排序海量数据，理论上时间复杂度可以达到 $O(n + k)$ 。
### 2. &nbsp; 并行计算优化
我们知道，分治生成的子问题是相互独立的，**因此通常可以并行解决**。也就是说，分治不仅可以降低算法的时间复杂度，**还有利于操作系统的并行优化**。
并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。
比如在图 12-3 所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。
![桶排序的并行计算](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_parallel_computing.png)
<p align="center"> 图 12-3 &nbsp; 桶排序的并行计算 </p>
## 12.1.3 &nbsp; 分治常见应用
一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题。
- **寻找最近点对**：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后再找出跨越两部分的最近点对。
- **大整数乘法**：例如 Karatsuba 算法，它是将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。
- **矩阵乘法**：例如 Strassen 算法，它是将大矩阵乘法分解为多个小矩阵的乘法和加法。
- **汉诺塔问题**：汉诺塔问题可以视为典型的分治策略，通过递归解决。
- **求解逆序对**：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以通过分治的思想，借助归并排序进行求解。
另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛。
- **二分查找**：二分查找是将有序数组从中点索引分为两部分，然后根据目标值与中间元素值比较结果，决定排除哪一半区间，然后在剩余区间执行相同的二分操作。
- **归并排序**：文章开头已介绍，不再赘述。
- **快速排序**：快速排序是选取一个基准值，然后把数组分为两个子数组，一个子数组的元素比基准值小，另一子数组的元素比基准值大，然后再对这两部分进行相同的划分操作，直至子数组只剩下一个元素。
- **桶排序**：桶排序的基本思想是将数据分散到多个桶，然后对每个桶内的元素进行排序，最后将各个桶的元素依次取出，从而得到一个有序数组。
- **树**：例如二叉搜索树、AVL 树、红黑树、B 树、B+ 树等，它们的查找、插入和删除等操作都可以视为分治的应用。
- **堆**：堆是一种特殊的完全二叉树，其各种操作，如插入、删除和堆化，实际上都隐含了分治的思想。
- **哈希表**：虽然哈希表来并不直接应用分治，但某些哈希冲突解决策略间接应用了分治策略，例如，链式地址中的长链表会被转化为红黑树，以提升查询效率。
可以看出，**分治是一种“润物细无声”的算法思想**，隐含在各种算法与数据结构之中。

497
docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md Normal file
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comments: true
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# 12.4 &nbsp; 汉诺塔问题
在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。
!!! question
给定三根柱子，记为 `A`、`B` 和 `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。
1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。
2. 每次只能移动一个圆盘。
3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。
![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png)
<p align="center"> 图 12-10 &nbsp; 汉诺塔问题示例 </p>
**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
### 1. &nbsp; 考虑基本情况
如图 12-11 所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
=== "<1>"
![规模为 1 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png)
=== "<2>"
![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png)
<p align="center"> 图 12-11 &nbsp; 规模为 1 问题的解 </p>
如图 12-12 所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。
1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。
2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。
3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。
=== "<1>"
![规模为 2 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f2_step1.png)
=== "<2>"
![hanota_f2_step2](hanota_problem.assets/hanota_f2_step2.png)
=== "<3>"
![hanota_f2_step3](hanota_problem.assets/hanota_f2_step3.png)
=== "<4>"
![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png)
<p align="center"> 图 12-12 &nbsp; 规模为 2 问题的解 </p>
解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。
### 2. &nbsp; 子问题分解
对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。
因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行图 12-13 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` 。
2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。
3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` 。
=== "<1>"
![规模为 3 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png)
=== "<2>"
![hanota_f3_step2](hanota_problem.assets/hanota_f3_step2.png)
=== "<3>"
![hanota_f3_step3](hanota_problem.assets/hanota_f3_step3.png)
=== "<4>"
![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png)
<p align="center"> 图 12-13 &nbsp; 规模为 3 问题的解 </p>
本质上看，**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。
至此，我们可总结出图 12-14 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ，并按照以下顺序解决这三个子问题。
1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。
3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` 。
对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。
![汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png)
<p align="center"> 图 12-14 &nbsp; 汉诺塔问题的分治策略 </p>
### 3. &nbsp; 代码实现
在代码中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` 。
=== "Python"
```python title="hanota.py"
def move(src: list[int], tar: list[int]):
"""移动一个圆盘"""
# 从 src 顶部拿出一个圆盘
pan = src.pop()
# 将圆盘放入 tar 顶部
tar.append(pan)
def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
"""求解汉诺塔：问题 f(i)"""
# 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if i == 1:
move(src, tar)
return
# 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf)
# 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar)
# 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar)
def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
"""求解汉诺塔"""
n = len(A)
# 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C)
```
=== "C++"
```cpp title="hanota.cpp"
/* 移动一个圆盘 */
void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
int pan = src.back();
src.pop_back();
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push_back(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
int n = A.size();
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Java"
```java title="hanota.java"
/* 移动一个圆盘 */
void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.add(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
int n = A.size();
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "C#"
```csharp title="hanota.cs"
/* 移动一个圆盘 */
void Move(List<int> src, List<int> tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
int pan = src[^1];
src.RemoveAt(src.Count - 1);
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.Add(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void Dfs(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i == 1) {
Move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
Dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
Move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
Dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
void SolveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
int n = A.Count;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
Dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Go"
```go title="hanota.go"
/* 移动一个圆盘 */
func move(src, tar *list.List) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
pan := src.Back()
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.PushBack(pan.Value)
// 移除 src 顶部圆盘
src.Remove(pan)
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if i == 1 {
move(src, tar)
return
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar)
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
}
/* 求解汉诺塔 */
func solveHanota(A, B, C *list.List) {
n := A.Len()
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfsHanota(n, A, B, C)
}
```
=== "Swift"
```swift title="hanota.swift"
/* 移动一个圆盘 */
func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
let pan = src.popLast()!
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.append(pan)
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if i == 1 {
move(src: &src, tar: &tar)
return
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf)
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src: &src, tar: &tar)
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar)
}
/* 求解汉诺塔 */
func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) {
let n = A.count
// 列表尾部是柱子顶部
// 将 src 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C)
}
```
=== "JS"
```javascript title="hanota.js"
/* 移动一个圆盘 */
function move(src, tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
const pan = src.pop();
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
function dfs(i, src, buf, tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i === 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
function solveHanota(A, B, C) {
const n = A.length;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "TS"
```typescript title="hanota.ts"
/* 移动一个圆盘 */
function move(src: number[], tar: number[]): void {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
const pan = src.pop();
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i === 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
const n = A.length;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Dart"
```dart title="hanota.dart"
/* 移动一个圆盘 */
void move(List<int> src, List<int> tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
int pan = src.removeLast();
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.add(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
void solveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
int n = A.length;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Rust"
```rust title="hanota.rs"
/* 移动一个圆盘 */
fn move_pan(src: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
let pan = src.remove(src.len() - 1);
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
fn dfs(i: i32, src: &mut Vec<i32>, buf: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if i == 1 {
move_pan(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move_pan(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
fn solve_hanota(A: &mut Vec<i32>, B: &mut Vec<i32>, C: &mut Vec<i32>) {
let n = A.len() as i32;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "C"
```c title="hanota.c"
/* 移动一个圆盘 */
void move(vector *src, vector *tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
int *panTemp = vectorBack(src);
int *pan = malloc(sizeof(int));
*pan = *panTemp;
vectorPopback(src);
// 将圆盘放入 tar 顶部
vectorPushback(tar, pan, sizeof(int));
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, vector *src, vector *buf, vector *tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
void solveHanota(vector *A, vector *B, vector *C) {
int n = A->size;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Zig"
```zig title="hanota.zig"
[class]{}-[func]{move}
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{solveHanota}
```
如图 12-15 所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)
<p align="center"> 图 12-15 &nbsp; 汉诺塔问题的递归树 </p>
!!! quote
汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
然而，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。

26
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icon: material/set-split
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# 第 12 章 &nbsp; 分治
<div class="center-table" markdown>
![分治](../assets/covers/chapter_divide_and_conquer.jpg){ width="600" }
</div>
!!! abstract
难题被逐层拆解，每一次的拆解都使它变得更为简单。
分而治之揭示了一个重要的事实：从简单做起，一切都不再复杂。
## 本章内容
- [12.1 &nbsp; 分治算法](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/)
- [12.2 &nbsp; 分治搜索策略](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/)
- [12.3 &nbsp; 构建树问题](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/)
- [12.4 &nbsp; 汉诺塔问题](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/)
- [12.5 &nbsp; 小结](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/summary/)

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docs/chapter_divide_and_conquer/summary.md Normal file
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comments: true
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# 12.5 &nbsp; 小结
- 分治算法是一种常见的算法设计策略，包括分（划分）和治（合并）两个阶段，通常基于递归实现。
- 判断是否是分治算法问题的依据包括：问题能否被分解、子问题是否独立、子问题是否可以被合并。
- 归并排序是分治策略的典型应用，其递归地将数组划分为等长的两个子数组，直到只剩一个元素时开始逐层合并，从而完成排序。
- 引入分治策略往往可以带来算法效率的提升。一方面，分治策略减少了操作数量；另一方面，分治后有利于系统的并行优化。
- 分治既可以解决许多算法问题，也广泛应用于数据结构与算法设计中，处处可见其身影。
- 相较于暴力搜索，自适应搜索效率更高。时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的。
- 二分查找是分治策略的另一个典型应用，它不包含将子问题的解进行合并的步骤。我们可以通过递归分治实现二分查找。
- 在构建二叉树问题中，构建树（原问题）可以被划分为构建左子树和右子树（子问题），其可以通过划分前序遍历和中序遍历的索引区间来实现。
- 在汉诺塔问题中，一个规模为 $n$ 的问题可以被划分为两个规模为 $n-1$ 的子问题和一个规模为 $1$ 的子问题。按顺序解决这三个子问题后，原问题随之得到解决。