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krahets
@@ -3391,18 +3391,18 @@
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<p>在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 <code>TreeNode</code> ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。</p>
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<p>那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。</p>
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<h2 id="731">7.3.1. 表示完美二叉树<a class="headerlink" href="#731" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>先分析一个简单案例，给定一个完美二叉树，我们将节点按照层序遍历的顺序编号（从 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 开始），此时每个节点都对应唯一的索引。</p>
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<p>先分析一个简单案例。给定一个完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。</p>
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<p>根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：<strong>若节点的索引为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，则该节点的左子节点索引为 <span class="arithmatex">\(2i + 1\)</span> ，右子节点索引为 <span class="arithmatex">\(2i + 2\)</span></strong> 。</p>
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<p><img alt="完美二叉树的数组表示" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_binary_tree.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 完美二叉树的数组表示 </p>
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<p><strong>映射公式的作用相当于链表中的指针</strong>。如果我们将节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，那么对于数组中的任意节点，我们都可以通过映射公式来访问其子节点。</p>
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<p><strong>映射公式的角色相当于链表中的指针</strong>。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。</p>
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<h2 id="732">7.3.2. 表示任意二叉树<a class="headerlink" href="#732" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ，而层序遍历序列并不包含这些 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 。我们无法仅凭该序列来推测 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 的数量和分布位置，<strong>这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列</strong>。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。</p>
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<p>然而完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层，通常存在许多 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 。由于层序遍历序列并不包含这些 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ，因此我们无法仅凭该序列来推测 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 的数量和分布位置。<strong>这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列</strong>。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。</p>
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<p><img alt="层序遍历序列对应多种二叉树可能性" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_without_empty.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 层序遍历序列对应多种二叉树可能性 </p>
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<p>为了解决此问题，<strong>我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span></strong>。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。</p>
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<p>为了解决此问题，<strong>我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span></strong> 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@@ -3419,7 +3419,7 @@
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</div>
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<div class="tabbed-block">
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<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-2-1" name="__codelineno-2-1" href="#__codelineno-2-1"></a><span class="c1"># 二叉树的数组表示</span>
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<a id="__codelineno-2-2" name="__codelineno-2-2" href="#__codelineno-2-2"></a><span class="c1"># 直接使用 None 来表示空位</span>
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<a id="__codelineno-2-2" name="__codelineno-2-2" href="#__codelineno-2-2"></a><span class="c1"># 使用 None 来表示空位</span>
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<a id="__codelineno-2-3" name="__codelineno-2-3" href="#__codelineno-2-3"></a><span class="n">tree</span> <span class="o">=</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="mi">6</span><span class="p">,</span> <span class="mi">7</span><span class="p">,</span> <span class="mi">8</span><span class="p">,</span> <span class="mi">9</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="mi">12</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="mi">15</span><span class="p">]</span>
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</code></pre></div>
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</div>
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@@ -3431,13 +3431,13 @@
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</div>
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<div class="tabbed-block">
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<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-4-1" name="__codelineno-4-1" href="#__codelineno-4-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
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<a id="__codelineno-4-2" name="__codelineno-4-2" href="#__codelineno-4-2"></a><span class="c1">// 直接使用 null 来表示空位</span>
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<a id="__codelineno-4-2" name="__codelineno-4-2" href="#__codelineno-4-2"></a><span class="c1">// 使用 null 来表示空位</span>
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<a id="__codelineno-4-3" name="__codelineno-4-3" href="#__codelineno-4-3"></a><span class="kd">let</span><span class="w"> </span><span class="nx">tree</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">[</span><span class="mf">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">15</span><span class="p">];</span>
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</code></pre></div>
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</div>
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<div class="tabbed-block">
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<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-5-1" name="__codelineno-5-1" href="#__codelineno-5-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
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<a id="__codelineno-5-2" name="__codelineno-5-2" href="#__codelineno-5-2"></a><span class="c1">// 直接使用 null 来表示空位</span>
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<a id="__codelineno-5-2" name="__codelineno-5-2" href="#__codelineno-5-2"></a><span class="c1">// 使用 null 来表示空位</span>
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<a id="__codelineno-5-3" name="__codelineno-5-3" href="#__codelineno-5-3"></a><span class="kd">let</span><span class="w"> </span><span class="nx">tree</span><span class="o">:</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="kt">number</span><span class="w"> </span><span class="o">|</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">)[]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">[</span><span class="mf">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">15</span><span class="p">];</span>
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</code></pre></div>
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</div>
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@@ -3474,10 +3474,14 @@
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<p><img alt="任意类型二叉树的数组表示" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_with_empty.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 任意类型二叉树的数组表示 </p>
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<p>以下为数组表示下二叉树的实现，包括：</p>
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<p>值得说明的是，<strong>完全二叉树非常适合使用数组来表示</strong>。回顾完全二叉树的定义，<span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 只出现在最底层且靠右的位置，<strong>因此所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 一定出现在层序遍历序列的末尾</strong>。这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ，非常方便。</p>
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<p><img alt="完全二叉树的数组表示" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 完全二叉树的数组表示 </p>
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<p>如下代码给出了数组表示下的二叉树的简单实现，包括以下操作：</p>
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<ul>
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<li>获取节点数量、节点值、左（右）子节点、父节点等基础操作；</li>
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<li>获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历的节点值序列；</li>
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<li>给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点；</li>
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||||
<li>获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列；</li>
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</ul>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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@@ -3859,21 +3863,18 @@
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</div>
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</div>
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<h2 id="733">7.3.3. 优势与局限性<a class="headerlink" href="#733" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>二叉树的数组表示存在以下优点：</p>
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<p>二叉树的数组表示的优点包括：</p>
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<ul>
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<li>数组存储在连续的内存空间中，缓存友好，访问与遍历速度较快；</li>
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<li>数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快；</li>
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<li>不需要存储指针，比较节省空间；</li>
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<li>允许随机访问节点；</li>
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</ul>
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<p>然而，数组表示也具有一些局限性：</p>
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<ul>
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<li>数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。</li>
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<li>数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树；</li>
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<li>增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低；</li>
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<li>当二叉树中存在大量 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。</li>
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<li>当二叉树中存在大量 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低；</li>
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</ul>
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<p><strong>完全二叉树非常适合使用数组来表示</strong>。回顾完全二叉树的定义，<span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 只出现在最底层且靠右的位置，<strong>这意味着所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 一定出现在层序遍历序列的末尾</strong>。因此，在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 。</p>
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<p><img alt="完全二叉树的数组表示" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 完全二叉树的数组表示 </p>
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@@ -1405,26 +1405,6 @@
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7.2.1. 层序遍历
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="7.2.1. 层序遍历">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_1" class="md-nav__link">
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算法实现
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_2" class="md-nav__link">
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复杂度分析
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</a>
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</li>
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</ul>
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</nav>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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@@ -1432,26 +1412,6 @@
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7.2.2. 前序、中序、后序遍历
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="7.2.2. 前序、中序、后序遍历">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_3" class="md-nav__link">
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算法实现
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_4" class="md-nav__link">
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复杂度分析
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</a>
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</li>
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</ul>
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</nav>
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</li>
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</ul>
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@@ -3381,26 +3341,6 @@
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||||
7.2.1. 层序遍历
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="7.2.1. 层序遍历">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_1" class="md-nav__link">
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算法实现
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_2" class="md-nav__link">
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复杂度分析
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</a>
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</li>
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</ul>
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</nav>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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@@ -3408,26 +3348,6 @@
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||||
7.2.2. 前序、中序、后序遍历
|
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="7.2.2. 前序、中序、后序遍历">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_3" class="md-nav__link">
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||||
算法实现
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_4" class="md-nav__link">
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复杂度分析
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</a>
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</li>
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</ul>
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</nav>
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</li>
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</ul>
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@@ -3462,7 +3382,6 @@
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<p><img alt="二叉树的层序遍历" src="../binary_tree_traversal.assets/binary_tree_bfs.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 二叉树的层序遍历 </p>
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<h3 id="_1">算法实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>广度优先遍历通常借助「队列」来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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@@ -3724,44 +3643,15 @@
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</div>
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</div>
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</div>
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<h3 id="_2">复杂度分析<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p><strong>时间复杂度</strong>：所有节点被访问一次，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，其中 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 为节点数量。</p>
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<p><strong>空间复杂度</strong>：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 <span class="arithmatex">\(\frac{n + 1}{2}\)</span> 个节点，占用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间。</p>
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<h2 id="722">7.2.2. 前序、中序、后序遍历<a class="headerlink" href="#722" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。</p>
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<p>如下图所示，左侧是深度优先遍历的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，在这个过程中，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。</p>
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<p>如下图所示，左侧是深度优先遍历的示意图，右上方是对应的递归代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，在这个过程中，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。</p>
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<p><img alt="二叉搜索树的前、中、后序遍历" src="../binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 二叉搜索树的前、中、后序遍历 </p>
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<div class="center-table">
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<table>
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<thead>
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<tr>
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<th>位置</th>
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<th>含义</th>
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<th>此处访问节点时对应</th>
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</tr>
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</thead>
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<tbody>
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<tr>
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<td>橙色圆圈处</td>
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<td>刚进入此节点，即将访问该节点的左子树</td>
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<td>前序遍历 Pre-Order Traversal</td>
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</tr>
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<tr>
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<td>蓝色圆圈处</td>
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<td>已访问完左子树，即将访问右子树</td>
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<td>中序遍历 In-Order Traversal</td>
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</tr>
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<tr>
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<td>紫色圆圈处</td>
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<td>已访问完左子树和右子树，即将返回</td>
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<td>后序遍历 Post-Order Traversal</td>
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</tr>
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</tbody>
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</table>
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</div>
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<h3 id="_3">算法实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>以下给出了实现代码，请配合上图理解深度优先遍历的递归过程。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@@ -4112,11 +4002,17 @@
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</div>
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</div>
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</div>
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<p><strong>时间复杂度</strong>：所有节点被访问一次，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，其中 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 为节点数量。</p>
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<p><strong>空间复杂度</strong>：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，系统占用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。</p>
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<div class="admonition note">
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<p class="admonition-title">Note</p>
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<p>我们也可以仅基于循环实现前、中、后序遍历，有兴趣的同学可以自行实现。</p>
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<p>我们也可以不使用递归，仅基于迭代实现前、中、后序遍历，有兴趣的同学可以自行研究。</p>
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</div>
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<p>递归过程可分为“递”和“归”两个相反的部分。“递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点；“归”表示函数返回，代表该节点已经访问完毕。如下图所示，为前序遍历二叉树的递归过程。</p>
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<p>下图展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分：</p>
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<ol>
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<li>“递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。</li>
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<li>“归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。</li>
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</ol>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:11"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1"><1></label><label for="__tabbed_3_2"><2></label><label for="__tabbed_3_3"><3></label><label for="__tabbed_3_4"><4></label><label for="__tabbed_3_5"><5></label><label for="__tabbed_3_6"><6></label><label for="__tabbed_3_7"><7></label><label for="__tabbed_3_8"><8></label><label for="__tabbed_3_9"><9></label><label for="__tabbed_3_10"><10></label><label for="__tabbed_3_11"><11></label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@@ -4154,9 +4050,6 @@
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</div>
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</div>
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</div>
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<h3 id="_4">复杂度分析<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p><strong>时间复杂度</strong>：所有节点被访问一次，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，其中 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 为节点数量。</p>
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<p><strong>空间复杂度</strong>：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，系统占用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。</p>
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