Polish the chapter of graph, hashing, appendix

docs/chapter_graph/graph_operations.md

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 # 图基础操作
 
-图的基础操作分为对「边」的操作和对「顶点」的操作，在「邻接矩阵」和「邻接表」这两种表示下的实现方式不同。
+图的基础操作可分为对「边」的操作和对「顶点」的操作。在「邻接矩阵」和「邻接表」两种表示方法下，实现方式有所不同。
 
 ## 基于邻接矩阵的实现
 
-设图的顶点总数为 $n$ ，则有：
+给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则有：
 
-- **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定边的对应元素即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
+- **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
 - **添加顶点**：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。
 - **删除顶点**：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 $(n-1)^2$ 个元素“向左上移动”，从而使用 $O(n^2)$ 时间。
 - **初始化**：传入 $n$ 个顶点，初始化长度为 $n$ 的顶点列表 `vertices` ，使用 $O(n)$ 时间；初始化 $n \times n$ 大小的邻接矩阵 `adjMat` ，使用 $O(n^2)$ 时间。
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 ## 基于邻接表的实现
 
-设图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
+设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
 
-- **添加边**：在顶点对应链表的尾部添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
-- **删除边**：在顶点对应链表中查询与删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。与添加边一样，需要同时删除两个方向的边。
-- **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表即可，并以新增顶点为链表头结点，使用 $O(1)$ 时间。
-- **删除顶点**：需要遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(n + m)$ 时间。
-- **初始化**：需要在邻接表中建立 $n$ 个结点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。
+- **添加边**：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
+- **删除边**：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
+- **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头结点，使用 $O(1)$ 时间。
+- **删除顶点**：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(1)$ 时间。
+- **初始化**：在邻接表中创建 $n$ 个顶点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。
 
 === "初始化邻接表"
     ![邻接表的初始化、增删边、增删顶点](graph_operations.assets/adjacency_list_initialization.png)
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 === "删除顶点"
     ![adjacency_list_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_remove_vertex.png)
 
-基于邻接表实现图的代码如下所示。细心的同学可能注意到，**我们在邻接表中使用 `Vertex` 结点类来表示顶点**，这样做的原因是：
+以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，**我们在邻接表中使用 `Vertex` 结点类来表示顶点**，这样做的原因有：
 
 - 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
-- 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 $i$ 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部执行 $-1$ ，这样操作效率太低。
+- 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 $i$ 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部减 $1$，这样操作效率较低。
 - 因此我们考虑引入顶点类 `Vertex` ，使得每个顶点都是唯一的对象，此时删除顶点时就无需改动其余顶点了。
 
 === "Java"
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 </div>
 
-观察上表，貌似邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上，**邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”**。
+观察上表，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。