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chapter_backtracking/permutations_problem/index.html

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 <p>从回溯算法的角度看，<strong>我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果</strong>。假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 2, 3]\)</span> ，如果我们先选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span>、再选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span>、最后选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，则获得排列 <span class="arithmatex">\([1, 3, 2]\)</span> 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。</p>
 <p>从回溯代码的角度看，候选集合 <code>choices</code> 是输入数组中的所有元素，状态 <code>state</code> 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，<strong>因此 <code>state</code> 中的所有元素都应该是唯一的</strong>。</p>
 <p>如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 <code>state</code> 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。</p>
-<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="全排列的递归树" src="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" /></a></p>
+<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="全排列的递归树" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" /></a></p>
 <p align="center"> 图 13-5 &nbsp; 全排列的递归树 </p>
 
 <h3 id="1">1. &nbsp; 重复选择剪枝<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
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 <li>遍历选择列表 <code>choices</code> 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。</li>
 </ul>
 <p>如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。</p>
-<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="全排列剪枝示例" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></a></p>
+<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="全排列剪枝示例" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></a></p>
 <p align="center"> 图 13-6 &nbsp; 全排列剪枝示例 </p>
 
 <p>观察图 13-6 发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span> 。</p>
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 </div>
 <p>假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 1, 2]\)</span> 。为了方便区分两个重复元素 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，我们将第二个 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 记为 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 。</p>
 <p>如图 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。</p>
-<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_ii.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="重复排列" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii.png" /></a></p>
+<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_ii.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="重复排列" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii.png" /></a></p>
 <p align="center"> 图 13-7 &nbsp; 重复排列 </p>
 
 <p>那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，<strong>因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝</strong>，这样可以进一步提升算法效率。</p>
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 <p>观察图 13-8 ，在第一轮中，选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝掉。</p>
 <p>同理，在第一轮选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 之后，第二轮选择中的 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
 <p>本质上看，<strong>我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次</strong>。</p>
-<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="重复排列剪枝" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" /></a></p>
+<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="重复排列剪枝" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" /></a></p>
 <p align="center"> 图 13-8 &nbsp; 重复排列剪枝 </p>
 
 <h3 id="2_1">2. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#2_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
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 <li><strong>相等元素剪枝</strong>：每轮选择（即每个调用的 <code>backtrack</code> 函数）都包含一个 <code>duplicated</code> 。它记录的是在本轮遍历（即 <code>for</code> 循环）中哪些元素已被选择过，作用是保证相等的元素只被选择一次。</li>
 </ul>
 <p>图 13-9 展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。</p>
-<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="两种剪枝条件的作用范围" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png" /></a></p>
+<p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="两种剪枝条件的作用范围" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png" /></a></p>
 <p align="center"> 图 13-9 &nbsp; 两种剪枝条件的作用范围 </p>
 
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