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# 7.1   二叉树
「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含：值、左子节点引用、右子节点引用。
「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含：值、左子节点引用、右子节点引用。
=== "Java"
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节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，同时该节点被称为这两个子节点的「父节点」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树」，同理可得「右子树」。
每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。
**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。例如，在以下示例中，若将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。在以下示例中，若将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
![父节点、子节点、子树](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)
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二叉树涉及的术语较多，建议尽量理解并记住。
- 「根节点 Root Node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
- 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 $\text{None}$ 。
- 节点的「层 Level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
- 节点的「度 Degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 。
- 「边 Edge」：连接两个节点的线段，即节点指针。
- 二叉树的「高度」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
- 节点的「深度 Depth」 ：从根节点到该节点所经过的边的数量。
- 节点的「高度 Height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量。
- 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
- 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 $\text{None}$ 。
- 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
- 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
- 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0, 1, 2 。
- 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
- 节点的「深度 depth」 ：从根节点到该节点所经过的边的数量。
- 节点的「高度 height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量。
![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)
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!!! tip "高度与深度的定义"
请注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
## 7.1.2   二叉树基本操作
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### 1.   完美二叉树
「完美二叉树 Perfect Binary Tree」除了最底层外，其余所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
「完美二叉树 perfect binary tree」除了最底层外，其余所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
!!! tip
在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意区分。
请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」。
![完美二叉树](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)
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### 2.   完全二叉树
「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
![完全二叉树](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)
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### 3.   完满二叉树
「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
![完满二叉树](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)
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### 4.   平衡二叉树
「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
![平衡二叉树](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)
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## 7.1.4   二叉树的退化
当二叉树的每层节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为「链表」。
当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。
- 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。
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<p align="center"> 图：二叉树的最佳与最差结构 </p>
如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
<p align="center"> 表：二叉树的最佳与最差情况 </p>
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