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docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md

@@ -136,6 +136,6 @@
     [class]{}-[func]{n_queens}
     ```
 
-逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \dots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
+逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、$1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
 
-数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols` , `diags1` , `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。
+数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols`、`diags1` 和 `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。

docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md

@@ -18,7 +18,7 @@
 
     输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。
 
-从回溯算法的角度看，**我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$ 、再选择 $3$ 、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
+从回溯算法的角度看，**我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$、再选择 $3$、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
 
 从回溯代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，**因此 `state` 中的所有元素都应该是唯一的**。
 
@@ -33,7 +33,7 @@
 - 在做出选择 `choice[i]` 后，我们就将 `selected[i]` 赋值为 $\text{True}$ ，代表它已被选择。
 - 遍历选择列表 `choices` 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。
 
-如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。
+如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。
 
 ![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
 

docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md

@@ -128,18 +128,18 @@
 
 **我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。
 
-1. 当第一轮和第二轮分别选择 $3$ , $4$ 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。
+1. 当第一轮和第二轮分别选择 $3$ 和 $4$ 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。
 2. 之后，当第一轮选择 $4$ 时，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \dots]$ 和 `1.` 中生成的子集完全重复。
 
 在搜索中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。
 
-1. 前两轮选择 $3$ , $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。
-2. 前两轮选择 $4$ , $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
-3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和子集 $[5, 4, \dots]$ 和 `1.` , `2.` 中描述的子集完全重复。
+1. 前两轮选择 $3$ 和 $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。
+2. 前两轮选择 $4$ 和 $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
+3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和 $[5, 4, \dots]$ 与第 `1.` 和 `2.` 步中描述的子集完全重复。
 
 ![不同选择顺序导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png)
 
-总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
+总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
 
 ### 代码实现