build

chapter_sorting/heap_sort.md

@@ -1,2 +1,244 @@
-# 堆排序
+---
+comments: true
+---
 
+# 11.7.   堆排序
+
+!!! tip
+
+    阅读本节前，请确保已完成堆章节的学习。
+
+「堆排序 Heap Sort」是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序：
+
+1. 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
+2. 初始化一个数组 `res` ，用于存储排序结果。
+3. 循环执行 $n$ 轮出堆操作，并依次将出堆元素记录至 `res` ，即可得到从小到大排序的序列。
+
+该方法虽然可行，但需要借助一个额外数组，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。设数组的长度为 $n$ ，堆排序的流程如下：
+
+1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
+2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 $1$ ，已排序元素数量加 $1$ 。
+3. 从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（Sift Down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
+4. 循环执行第 `2.` 和 `3.` 步。循环 $n - 1$ 轮后，即可完成数组排序。
+
+实际上，元素出堆操作中也包含第 `2.` 和 `3.` 步，只是多了一个弹出元素的步骤。
+
+=== "<1>"
+    ![堆排序步骤](heap_sort.assets/heap_sort_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![heap_sort_step2](heap_sort.assets/heap_sort_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![heap_sort_step3](heap_sort.assets/heap_sort_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![heap_sort_step4](heap_sort.assets/heap_sort_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![heap_sort_step5](heap_sort.assets/heap_sort_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![heap_sort_step6](heap_sort.assets/heap_sort_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![heap_sort_step7](heap_sort.assets/heap_sort_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![heap_sort_step8](heap_sort.assets/heap_sort_step8.png)
+
+=== "<9>"
+    ![heap_sort_step9](heap_sort.assets/heap_sort_step9.png)
+
+=== "<10>"
+    ![heap_sort_step10](heap_sort.assets/heap_sort_step10.png)
+
+=== "<11>"
+    ![heap_sort_step11](heap_sort.assets/heap_sort_step11.png)
+
+=== "<12>"
+    ![heap_sort_step12](heap_sort.assets/heap_sort_step12.png)
+
+在代码实现中，我们使用了与堆章节相同的从顶至底堆化（Sift Down）的函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 Sift Down 函数添加一个长度参数 $n$ ，用于指定堆的当前有效长度。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="heap_sort.java"
+    /* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
+    void siftDown(int[] nums, int n, int i) {
+        while (true) {
+            // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
+            int l = 2 * i + 1;
+            int r = 2 * i + 2;
+            int ma = i;
+            if (l < n && nums[l] > nums[ma])
+                ma = l;
+            if (r < n && nums[r] > nums[ma])
+                ma = r;
+            // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+            if (ma == i)
+                break;
+            // 交换两节点
+            int temp = nums[i];
+            nums[i] = nums[ma];
+            nums[ma] = temp;
+            // 循环向下堆化
+            i = ma;
+        }
+    }
+
+    /* 堆排序 */
+    void heapSort(int[] nums) {
+        // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
+        for (int i = nums.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
+            siftDown(nums, nums.length, i);
+        }
+        // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
+        for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
+            // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+            int tmp = nums[0];
+            nums[0] = nums[i];
+            nums[i] = tmp;
+            // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
+            siftDown(nums, i, 0);
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="heap_sort.cpp"
+    /* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
+    void siftDown(vector<int> &nums, int n, int i) {
+        while (true) {
+            // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
+            int l = 2 * i + 1;
+            int r = 2 * i + 2;
+            int ma = i;
+            if (l < n && nums[l] > nums[ma])
+                ma = l;
+            if (r < n && nums[r] > nums[ma])
+                ma = r;
+            // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+            if (ma == i) {
+                break;
+            }
+            // 交换两节点
+            swap(nums[i], nums[ma]);
+            // 循环向下堆化
+            i = ma;
+        }
+    }
+
+    /* 堆排序 */
+    void heapSort(vector<int> &nums) {
+        // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
+        for (int i = nums.size() / 2 - 1; i >= 0; --i) {
+            siftDown(nums, nums.size(), i);
+        }
+        // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
+        for (int i = nums.size() - 1; i > 0; --i) {
+            // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+            swap(nums[0], nums[i]);
+            // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
+            siftDown(nums, i, 0);
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="heap_sort.py"
+    def sift_down(nums: list[int], n: int, i: int):
+        """堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化"""
+        while True:
+            # 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
+            l = 2 * i + 1
+            r = 2 * i + 2
+            ma = i
+            if l < n and nums[l] > nums[ma]:
+                ma = l
+            if r < n and nums[r] > nums[ma]:
+                ma = r
+            # 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+            if ma == i:
+                break
+            # 交换两节点
+            nums[i], nums[ma] = nums[ma], nums[i]
+            # 循环向下堆化
+            i = ma
+
+    def heap_sort(nums: list[int]):
+        """堆排序"""
+        # 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
+        for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
+            sift_down(nums, len(nums), i)
+        # 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
+        for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
+            # 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+            nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
+            # 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
+            sift_down(nums, i, 0)
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="heap_sort.go"
+    [class]{}-[func]{siftDown}
+
+    [class]{}-[func]{heapSort}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="heap_sort.js"
+    [class]{}-[func]{siftDown}
+
+    [class]{}-[func]{heapSort}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="heap_sort.ts"
+    [class]{}-[func]{siftDown}
+
+    [class]{}-[func]{heapSort}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="heap_sort.c"
+    [class]{}-[func]{siftDown}
+
+    [class]{}-[func]{heapSort}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="heap_sort.cs"
+    [class]{heap_sort}-[func]{siftDown}
+
+    [class]{heap_sort}-[func]{heapSort}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="heap_sort.swift"
+    [class]{}-[func]{siftDown}
+
+    [class]{}-[func]{heapSort}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="heap_sort.zig"
+    [class]{}-[func]{siftDown}
+
+    [class]{}-[func]{heapSort}
+    ```
+
+## 11.7.1. &nbsp; 算法特性
+
+- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。
+- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序** ：几个指针变量使用 $O(1)$ 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
+- **非稳定排序**：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。