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chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/index.html

@@ -3428,13 +3428,13 @@
 </div>
 <p>如下图所示，将 <code>kitten</code> 转换为 <code>sitting</code> 需要编辑 3 步，包括 2 次替换操作与 1 次添加操作；将 <code>hello</code> 转换为 <code>algo</code> 需要 3 步，包括 2 次替换操作和 1 次删除操作。</p>
 <p><img alt="编辑距离的示例数据" src="../edit_distance_problem.assets/edit_distance_example.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 编辑距离的示例数据 </p>
+<p align="center"> 图：编辑距离的示例数据 </p>
 
 <p><strong>编辑距离问题可以很自然地用决策树模型来解释</strong>。字符串对应树节点，一轮决策（一次编辑操作）对应树的一条边。</p>
 <p>如下图所示，在不限制操作的情况下，每个节点都可以派生出许多条边，每条边对应一种操作，这意味着从 <code>hello</code> 转换到 <code>algo</code> 有许多种可能的路径。</p>
 <p>从决策树的角度看，本题的目标是求解节点 <code>hello</code> 和节点 <code>algo</code> 之间的最短路径。</p>
 <p><img alt="基于决策树模型表示编辑距离问题" src="../edit_distance_problem.assets/edit_distance_decision_tree.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 基于决策树模型表示编辑距离问题 </p>
+<p align="center"> 图：基于决策树模型表示编辑距离问题 </p>
 
 <p><strong>第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表</strong></p>
 <p>每一轮的决策是对字符串 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 进行一次编辑操作。</p>
@@ -3454,7 +3454,7 @@
 <li>将 <span class="arithmatex">\(s[i-1]\)</span> 替换为 <span class="arithmatex">\(t[j-1]\)</span> ，则剩余子问题 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j-1]\)</span> 。</li>
 </ol>
 <p><img alt="编辑距离的状态转移" src="../edit_distance_problem.assets/edit_distance_state_transfer.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 编辑距离的状态转移 </p>
+<p align="center"> 图：编辑距离的状态转移 </p>
 
 <p>根据以上分析，可得最优子结构：<span class="arithmatex">\(dp[i, j]\)</span> 的最少编辑步数等于 <span class="arithmatex">\(dp[i, j-1]\)</span> , <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j]\)</span> , <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j-1]\)</span> 三者中的最少编辑步数，再加上本次的编辑步数 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 。对应的状态转移方程为：</p>
 <div class="arithmatex">\[
@@ -3786,6 +3786,8 @@ dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
 </div>
 </div>
 </div>
+<p align="center"> 图：编辑距离的动态规划过程 </p>
+
 <h3 id="_2">状态压缩<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>由于 <span class="arithmatex">\(dp[i,j]\)</span> 是由上方 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j]\)</span> 、左方 <span class="arithmatex">\(dp[i, j-1]\)</span> 、左上方状态 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j-1]\)</span> 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j-1]\)</span> ，倒序遍历无法提前构建 <span class="arithmatex">\(dp[i, j-1]\)</span> ，因此两种遍历顺序都不可取。</p>
 <p>为此，我们可以使用一个变量 <code>leftup</code> 来暂存左上方的解 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j-1]\)</span> ，从而只需考虑左方和上方的解。此时的情况与完全背包问题相同，可使用正序遍历。</p>