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chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md

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-# 13.1.   回溯算法
+# 12.1.   回溯算法
 
 「回溯算法 Backtracking Algorithm」是一种通过穷举来解决问题的方法，它的核心思想是从一个初始状态出发，暴力搜索所有可能的解决方案，当遇到正确的解则将其记录，直到找到解或者尝试了所有可能的选择都无法找到解为止。
 
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 <p align="center"> Fig. 在前序遍历中搜索节点 </p>
 
-## 13.1.1. &nbsp; 尝试与回退
+## 12.1.1. &nbsp; 尝试与回退
 
 **之所以称之为回溯算法，是因为该算法在搜索解空间时会采用“尝试”与“回退”的策略**。当算法在搜索过程中遇到某个状态无法继续前进或无法得到满足条件的解时，它会撤销上一步的选择，退回到之前的状态，并尝试其他可能的选择。
 
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 === "<11>"
     ![preorder_find_paths_step11](backtracking_algorithm.assets/preorder_find_paths_step11.png)
 
-## 13.1.2. &nbsp; 剪枝
+## 12.1.2. &nbsp; 剪枝
 
 复杂的回溯问题通常包含一个或多个约束条件，**约束条件通常可用于“剪枝”**。
 
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 <p align="center"> Fig. 根据约束条件剪枝 </p>
 
-## 13.1.3. &nbsp; 常用术语
+## 12.1.3. &nbsp; 常用术语
 
 为了更清晰地分析算法问题，我们总结一下回溯算法中常用术语的含义，并对照例题三给出对应示例。
 
@@ -609,7 +609,7 @@ comments: true
 
     解、状态、约束条件等术语是通用的，适用于回溯算法、动态规划、贪心算法等。
 
-## 13.1.4. &nbsp; 框架代码
+## 12.1.4. &nbsp; 框架代码
 
 回溯算法可用于解决许多搜索问题、约束满足问题和组合优化问题。为提升代码通用性，我们希望将回溯算法的“尝试、回退、剪枝”的主体框架提炼出来。
 
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 相较于基于前序遍历的实现代码，基于回溯算法框架的实现代码虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，**所有回溯问题都可以在该框架下解决**。我们需要根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法。
 
-## 13.1.5. &nbsp; 典型例题
+## 12.1.5. &nbsp; 典型例题
 
 **搜索问题**：这类问题的目标是找到满足特定条件的解决方案。
 

chapter_backtracking/n_queens_problem.md

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 comments: true
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-# 13.3.   N 皇后问题
+# 12.3.   N 皇后问题
 
 !!! question "根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n \times n$ 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。"
 
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     [class]{}-[func]{nQueens}
     ```
 
-## 13.3.1.   复杂度分析
+## 12.3.1.   复杂度分析
 
 逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \cdots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
 

chapter_backtracking/permutations_problem.md

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 comments: true
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-# 13.2.   全排列问题
+# 12.2.   全排列问题
 
 全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。
 
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 </div>
 
-## 13.2.1. &nbsp; 无重复的情况
+## 12.2.1. &nbsp; 无重复的情况
 
 !!! question "输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。"
 
@@ -342,7 +342,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> Fig. 全排列剪枝示例 </p>
 
-## 13.2.2. &nbsp; 考虑重复的情况
+## 12.2.2. &nbsp; 考虑重复的情况
 
 !!! question "输入一个整数数组，**数组中可能包含重复元素**，返回所有不重复的排列。"
 
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 <p align="center"> Fig. 两种剪枝条件的作用范围 </p>
 
-## 13.2.3. &nbsp; 复杂度分析
+## 12.2.3. &nbsp; 复杂度分析
 
 假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。