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chapter_graph/graph.md

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 comments: true
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-# 10.1.   图
+# 9.1.   图
 
 「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可以将图 $G$ 抽象地表示为一组顶点 $V$ 和一组边 $E$ 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。
 
@@ -20,7 +20,7 @@ $$
 
 那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作节点，把「边」看作连接各个节点的指针，则可将「图」看作是一种从「链表」拓展而来的数据结构。**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂**。
 
-## 10.1.1.   图常见类型
+## 9.1.1.   图常见类型
 
 根据边是否具有方向，可分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
 
@@ -46,13 +46,13 @@ $$
 
 <p align="center"> Fig. 有权图与无权图 </p>
 
-## 10.1.2. &nbsp; 图常用术语
+## 9.1.2. &nbsp; 图常用术语
 
 - 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
 - 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
 - 「度 Degree」表示一个顶点拥有的边数。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。
 
-## 10.1.3. &nbsp; 图的表示
+## 9.1.3. &nbsp; 图的表示
 
 图的常用表示方法包括「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用无向图进行举例。
 
@@ -86,7 +86,7 @@ $$
 
 观察上图可发现，**邻接表结构与哈希表中的「链地址法」非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率**。例如，当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ，还可以通过中序遍历获取有序序列；此外，还可以将链表转换为哈希表，将时间复杂度降低至 $O(1)$ 。
 
-## 10.1.4. &nbsp; 图常见应用
+## 9.1.4. &nbsp; 图常见应用
 
 实际应用中，许多系统都可以用图来建模，相应的待求解问题也可以约化为图计算问题。
 

chapter_graph/graph_operations.md

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 comments: true
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-# 10.2.   图基础操作
+# 9.2.   图基础操作
 
 图的基础操作可分为对「边」的操作和对「顶点」的操作。在「邻接矩阵」和「邻接表」两种表示方法下，实现方式有所不同。
 
-## 10.2.1.   基于邻接矩阵的实现
+## 9.2.1.   基于邻接矩阵的实现
 
 给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则有：
 
@@ -762,7 +762,7 @@ comments: true
 
     ```
 
-## 10.2.2.   基于邻接表的实现
+## 9.2.2.   基于邻接表的实现
 
 设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
 
@@ -1451,7 +1451,7 @@ comments: true
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
-## 10.2.3.   效率对比
+## 9.2.3.   效率对比
 
 设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。
 

chapter_graph/graph_traversal.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 comments: true
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-# 10.3.   图的遍历
+# 9.3.   图的遍历
 
 !!! note "图与树的关系"
 
@@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
 
 与树类似，图的遍历方式也可分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，也称为「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称 BFS 和 DFS。
 
-## 10.3.1.   广度优先遍历
+## 9.3.1.   广度优先遍历
 
 **广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体来说，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
 
@@ -332,7 +332,7 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
 
 **空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
 
-## 10.3.2.   深度优先遍历
+## 9.3.2.   深度优先遍历
 
 **深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
 

chapter_graph/summary.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 comments: true
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-# 10.4.   小结
+# 9.4.   小结
 
 - 图由顶点和边组成，可以被表示为一组顶点和一组边构成的集合。
 - 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）具有更高的自由度，因而更为复杂。