CS_learn/hello-algo
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214
chapter_computational_complexity/time_complexity/index.html
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@@ -60,7 +60,18 @@
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@@ -2027,14 +2038,6 @@
10.2 &nbsp; 二分查找插入点
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2055,14 +2058,6 @@
10.3 &nbsp; 二分查找边界
</span>
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</span>
</a>
</li>
@@ -2482,14 +2477,6 @@
第 12 章 &nbsp; 分治
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
@@ -2521,14 +2508,6 @@
12.1 &nbsp; 分治算法
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2549,14 +2528,6 @@
12.2 &nbsp; 分治搜索策略
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2577,14 +2548,6 @@
12.3 &nbsp; 构建树问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2605,14 +2568,6 @@
12.4 &nbsp; 汉诺塔问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2633,14 +2588,6 @@
12.5 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2872,14 +2819,6 @@
第 14 章 &nbsp; 动态规划
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
@@ -2911,14 +2850,6 @@
14.1 &nbsp; 初探动态规划
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2939,14 +2870,6 @@
14.2 &nbsp; DP 问题特性
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2967,14 +2890,6 @@
14.3 &nbsp; DP 解题思路
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2995,14 +2910,6 @@
14.4 &nbsp; 0-1 背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3023,14 +2930,6 @@
14.5 &nbsp; 完全背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3051,14 +2950,6 @@
14.6 &nbsp; 编辑距离问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3079,14 +2970,6 @@
14.7 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3145,14 +3028,6 @@
第 15 章 &nbsp; 贪心
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
@@ -3184,14 +3059,6 @@
15.1 &nbsp; 贪心算法
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3212,14 +3079,6 @@
15.2 &nbsp; 分数背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3240,14 +3099,6 @@
15.3 &nbsp; 最大容量问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3268,14 +3119,6 @@
15.4 &nbsp; 最大切分乘积问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3296,14 +3139,6 @@
15.5 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -4050,7 +3885,7 @@
<li>算法 <code>B</code> 中的打印操作需要循环 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 次，算法运行时间随着 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。</li>
<li>算法 <code>C</code> 中的打印操作需要循环 <span class="arithmatex">\(1000000\)</span> 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 无关。因此 <code>C</code> 的时间复杂度和 <code>A</code> 相同，仍为“常数阶”。</li>
</ul>
<p><img alt="算法 A、B 和 C 的时间增长趋势" src="../time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="算法 A、B 和 C 的时间增长趋势" src="../time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 2-7 &nbsp; 算法 A、B 和 C 的时间增长趋势 </p>
<p>相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？</p>
@@ -4212,7 +4047,7 @@ T(n) = 3 + 2n
<p>若存在正实数 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 和实数 <span class="arithmatex">\(n_0\)</span> ，使得对于所有的 <span class="arithmatex">\(n &gt; n_0\)</span> ，均有 <span class="arithmatex">\(T(n) \leq c \cdot f(n)\)</span> ，则可认为 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 给出了 <span class="arithmatex">\(T(n)\)</span> 的一个渐近上界，记为 <span class="arithmatex">\(T(n) = O(f(n))\)</span> 。</p>
</div>
<p>如图 2-8 所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> ，使得当 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 趋向于无穷大时，<span class="arithmatex">\(T(n)\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 的倍数。</p>
<p><img alt="函数的渐近上界" src="../time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="函数的渐近上界" src="../time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 2-8 &nbsp; 函数的渐近上界 </p>
<h2 id="233">2.3.3 &nbsp; 推算方法<a class="headerlink" href="#233" title="Permanent link">&para;</a></h2>
@@ -4472,7 +4307,7 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
\text{常数阶} &lt; \text{对数阶} &lt; \text{线性阶} &lt; \text{线性对数阶} &lt; \text{平方阶} &lt; \text{指数阶} &lt; \text{阶乘阶}
\end{aligned}
\]</div>
<p><img alt="常见的时间复杂度类型" src="../time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="常见的时间复杂度类型" src="../time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 2-9 &nbsp; 常见的时间复杂度类型 </p>
<h3 id="1-o1">1. &nbsp; 常数阶 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span><a class="headerlink" href="#1-o1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
@@ -5073,7 +4908,7 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
</div>
<p>图 2-10 对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。</p>
<p><img alt="常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 2-10 &nbsp; 常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度 </p>
<p>以冒泡排序为例，外层循环执行 <span class="arithmatex">\(n - 1\)</span> 次，内层循环执行 <span class="arithmatex">\(n-1\)</span>、<span class="arithmatex">\(n-2\)</span>、<span class="arithmatex">\(\dots\)</span>、<span class="arithmatex">\(2\)</span>、<span class="arithmatex">\(1\)</span> 次，平均为 <span class="arithmatex">\(n / 2\)</span> 次，因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O((n - 1) n / 2) = O(n^2)\)</span> 。</p>
@@ -5534,7 +5369,7 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
</div>
</div>
<p><img alt="指数阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="指数阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 2-11 &nbsp; 指数阶的时间复杂度 </p>
<p>在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 次分裂后停止：</p>
@@ -5800,7 +5635,7 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n \log n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) &lt; O(n!
</div>
</div>
</div>
<p><img alt="对数阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="对数阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 2-12 &nbsp; 对数阶的时间复杂度 </p>
<p>与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一个高度为 <span class="arithmatex">\(\log_2 n\)</span> 的递归树：</p>
@@ -6087,7 +5922,7 @@ O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
</div>
</div>
<p>图 2-13 展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，树共有 <span class="arithmatex">\(\log_2 n + 1\)</span> 层，因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
<p><img alt="线性对数阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="线性对数阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 2-13 &nbsp; 线性对数阶的时间复杂度 </p>
<p>主流排序算法的时间复杂度通常为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。</p>
@@ -6265,7 +6100,7 @@ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
</div>
</div>
</div>
<p><img alt="阶乘阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="阶乘阶的时间复杂度" src="../time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 2-14 &nbsp; 阶乘阶的时间复杂度 </p>
<p>请注意，因为当 <span class="arithmatex">\(n \geq 4\)</span> 时恒有 <span class="arithmatex">\(n! &gt; 2^n\)</span> ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 较大时也是不可接受的。</p>
@@ -6777,10 +6612,15 @@ aria-label="页脚"
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