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+8.2. 建堆操作 *
+如果我们想要根据输入列表来生成一个堆，这样的操作被称为「建堆」。
+8.2.1. 两种建堆方法
+借助入堆方法实现
+最直接地，考虑借助「元素入堆」方法，先建立一个空堆，再将列表元素依次入堆即可。
+基于堆化操作实现
+然而，存在一种更加高效的建堆方法。设结点数量为 \(n\) ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」。当然，无需对叶结点执行堆化，因为其没有子结点。
+
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+
+
my_heap.java/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
+MaxHeap(List<Integer> nums) {
+ // 将列表元素原封不动添加进堆
+ maxHeap = new ArrayList<>(nums);
+ // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+ for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
+ siftDown(i);
+ }
+}
+
+
+
+
my_heap.cpp/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
+MaxHeap(vector<int> nums) {
+ // 将列表元素原封不动添加进堆
+ maxHeap = nums;
+ // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+ for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
+ siftDown(i);
+ }
+}
+
+
+
+
my_heap.py""" 构造方法 """
+def __init__(self, nums: List[int]):
+ # 将列表元素原封不动添加进堆
+ self.max_heap = nums
+ # 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+ for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
+ self.sift_down(i)
+
+
+
+
my_heap.go/* 构造方法，根据切片建堆 */
+func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
+ // 将列表元素原封不动添加进堆
+ h := &maxHeap{data: nums}
+ for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
+ // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+ h.siftDown(i)
+ }
+ return h
+}
+
+
+
+
my_heap.js/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
+constructor(nums) {
+ // 将列表元素原封不动添加进堆
+ this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
+ // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+ for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
+ this.#siftDown(i);
+ }
+}
+
+
+
+
my_heap.ts/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
+constructor(nums?: number[]) {
+ // 将列表元素原封不动添加进堆
+ this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
+ // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+ for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
+ this.siftDown(i);
+ }
+}
+
+
+
+
my_heap.c[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
+
+
+
+
my_heap.cs/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
+MaxHeap(IEnumerable<int> nums)
+{
+ // 将列表元素原封不动添加进堆
+ maxHeap = new List<int>(nums);
+ // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+ var size = parent(this.size() - 1);
+ for (int i = size; i >= 0; i--)
+ {
+ siftDown(i);
+ }
+}
+
+
+
+
my_heap.swift/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
+init(nums: [Int]) {
+ // 将列表元素原封不动添加进堆
+ maxHeap = nums
+ // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+ for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
+ siftDown(i: i)
+ }
+}
+
+
+
+
my_heap.zig// 构造方法，根据输入列表建堆
+fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
+ if (self.maxHeap != null) return;
+ self.maxHeap = std.ArrayList(T).init(allocator);
+ // 将列表元素原封不动添加进堆
+ try self.maxHeap.?.appendSlice(nums);
+ // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+ var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
+ while (i > 0) : (i -= 1) {
+ try self.siftDown(i - 1);
+ }
+}
+
+
+
+
8.2.2. 复杂度分析
+对于第一种建堆方法，元素入堆的时间复杂度为 \(O(\log n)\) ，而平均长度为 \(\frac{n}{2}\) ，因此该方法的总体时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
+那么，第二种建堆方法的时间复杂度是多少呢？我们来展开推算一下。
+
+- 完全二叉树中，设结点总数为 \(n\) ，则叶结点数量为 \((n + 1) / 2\) ，其中 \(/\) 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 \((n - 1)/2\) ，即为 \(O(n)\) ；
+- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \(O(\log n)\) ；
+
+将上述两者相乘，可得时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 二叉树底层结点远多于顶层结点 的性质。
+下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 \(n\) ，树高度为 \(h\) 。上文提到，结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”。因此，我们将各层的“结点数量 \(\times\) 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。
+\[
+T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
+\]
+
+ Fig. 完美二叉树的各层结点数量
+
+化简上式需要借助中学的数列知识，先对 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，易得
+\[
+\begin{aligned}
+T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
+2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
+\end{aligned}
+\]
+使用错位相减法，令下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得
+\[
+2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
+\]
+观察上式，\(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
+\[
+\begin{aligned}
+T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
+& = 2^{h+1} - h \newline
+& = O(2^h)
+\end{aligned}
+\]
+进一步地，高度为 \(h\) 的完美二叉树的结点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\)。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。
+
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