First version.

ru/docs/chapter_graph/graph.md

@@ -0,0 +1,83 @@
+# Графы
+
+<u>Граф</u> -- это нелинейная структура данных, состоящая из <u>вершин (vertex)</u> и <u>ребер (edge)</u>. Граф $G$ можно абстрактно представить как множество вершин $V$ и множество ребер $E$. Ниже приведен пример графа, содержащего 5 вершин и 7 ребер:
+
+$$
+\begin{aligned}
+V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
+E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
+G & = \{ V, E \} \newline
+\end{aligned}
+$$
+
+Если рассматривать вершины как узлы, а ребра как ссылки (указатели), соединяющие узлы, то граф можно рассматривать как расширенный список. Как показано на рисунке ниже, **по сравнению с линейными отношениями (список) и отношениями разделения (дерево), сетевые отношения (граф) обладают большей свободой** и, следовательно, являются более сложными.
+
+![Связь между списком, деревом и графом](../assets/linkedlist_tree_graph.png)
+
+## Основные типы и понятия графов
+
+В зависимости от наличия направления у ребер графы делятся на <u>неориентированные (undirected graph)</u> и <u>ориентированные (directed graph)</u>, как показано на рисунке ниже.
+
+- В неориентированном графе ребро представляет собой двустороннюю связь между двумя вершинами, например дружеские отношения в социальных сетях.
+- В ориентированном графе ребро имеет направление. То есть ребра $A \rightarrow B$ и $A \leftarrow B$ независимы друг от друга, например отношения подписки--подписчики.
+
+![Ориентированный и неориентированный графы](../assets/directed_graph.png)
+
+Если все вершины связаны, то граф называется <u>связным (connected graph)</u>, иначе -- <u>несвязным (disconnected graph)</u>, как показано на рисунке ниже.
+
+- В связном графе из любой вершины можно достичь любой другой вершины.
+- В несвязном графе существуют по крайней мере две вершины, между которыми нет пути.
+
+![Связный и несвязный графы](../assets/connected_graph.png)
+
+Можно также добавить к ребрам переменную «вес», получив <u>взвешенный граф (weighted graph)</u>, как показано на рисунке ниже. Например, в мобильных играх, таких как Honor of Kings, система рассчитывает близость между игроками на основе времени совместной игры. Такую сеть близости можно представить в виде взвешенного графа.
+
+![Взвешенный и невзвешенный графы](../assets/weighted_graph.png)
+
+Со структурой данных графа связаны следующие основные понятия.
+
+- <u>Смежность (adjacency)</u>: если между двумя вершинами существует ребро, они называются смежными. На рисунке выше вершины, смежные с вершиной 1, -- это вершины 2, 3 и 5.
+- <u>Путь (path)</u>: последовательность ребер от вершины A до вершины B называется путем от A до B. На рисунке выше последовательность ребер 1-5-2-4 является путем от вершины 1 до вершины 4.
+- <u>Степень (degree)</u>: количество ребер, присоединенных к вершине. Для ориентированного графа <u>входящая степень (in-degree)</u> показывает, сколько ребер ведет к данной вершине, а <u>исходящая степень (out-degree)</u> показывает, сколько ребер выходит из данной вершины.
+
+## Представление графа
+
+Графы можно представить с помощью «матрицы смежности» и «списка смежности». Рассмотрим пример с неориентированным графом.
+
+### Матрица смежности
+
+Пусть количество вершин графа равно $n$, <u>матрица смежности (adjacency matrix)</u> представляет граф в виде матрицы размером $n \times n$, где каждая строка (столбец) соответствует вершине, а элементы матрицы обозначают наличие ребра. Значение $1$ соответствует наличию ребра между двумя вершинами, значение $0$ -- отсутствию.
+
+Обозначим матрицу смежности как $M$, а список вершин как $V$. Тогда элемент матрицы $M[i, j] = 1$ указывает на наличие ребра между вершинами $V[i]$ и $V[j]$, в противном случае элемент матрицы $M[i, j] = 0$.
+
+![Представление графа с помощью матрицы смежности](../assets/adjacency_matrix.png)
+
+Матрица смежности обладает следующими свойствами.
+
+- В простом графе вершина не может быть соединена с самой собой, поэтому элементы на главной диагонали матрицы смежности не имеют значения.
+- Для неориентированного графа ребра в обоих направлениях эквивалентны, поэтому матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.
+- Заменив элементы матрицы смежности с $1$ и $0$ на веса ребер, можно представить взвешенный граф.
+
+Используя матрицу смежности для представления графа, можно напрямую обращаться к элементам матрицы для получения информации о ребрах, что делает операции добавления, удаления, поиска и изменения достаточно эффективными с временной сложностью $O(1)$. Однако пространственная сложность матрицы составляет $O(n^2)$, что требует значительных затрат памяти.
+
+### Список смежности
+
+<u>Список смежности (adjacency list)</u> представляет граф с помощью $n$ списков, где узлы списка представляют вершины. $i$-й список соответствует вершине $i$ и содержит все смежные вершины (вершины, соединенные с данной вершиной). На рисунке ниже показан пример графа, представленного с помощью списка смежности.
+
+![Представление графа с помощью списка смежности](../assets/adjacency_list.png)
+
+В списке смежности хранятся только существующие ребра, а общее количество ребер обычно значительно меньше $n^2$, что делает его более экономичным по памяти. Однако для поиска ребра в списке смежности необходимо просматривать список, что делает его менее эффективным по времени по сравнению с матрицей смежности.
+
+Как видно из рисунка выше, **структура списка смежности очень похожа на цепную адресацию в хеш-таблицах, поэтому можно использовать аналогичные методы для оптимизации эффективности**. Например, если список длинный, его можно преобразовать в АВЛ-дерево или красно-черное дерево, чтобы повысить временную эффективность с $O(n)$ до $O(\log n)$. Также можно преобразовать список в хеш-таблицу, чтобы снизить временную сложность до $O(1)$.
+
+## Типичные сценарии применения графов
+
+Многие реальные системы можно моделировать с помощью графов, а соответствующие задачи могут быть сведены к задачам вычисления на графах.
+
+<p align="center"> Таблица <id> &nbsp; Типичные графы в реальной жизни </p>
+
+|                     | Вершина         | Ребро                                  | Задача вычисления на графе            |
+| ------------------- | --------------- | -------------------------------------- | ------------------------------------- |
+| Социальные сети     | Пользователи    | Дружеские связи                        | Рекомендации потенциальных друзей     |
+| Линии метро         | Станции         | Связь между станциями                  | Рекомендации по кратчайшему маршруту  |
+| Солнечная система   | Небесные тела   | Взаимодействие гравитации между телами | Расчет орбит планет                   |