CS_learn/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-11 05:26:42 +08:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2025-07-10 07:14:11 +08:00
parent 718e8d4a1c
commit 85ebada8d9
29 changed files with 185 additions and 168 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

30
docs/chapter_sorting/quick_sort.md
View File

@@ -1161,7 +1161,7 @@ comments: true
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20median_three%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20left%3A%20int,%20mid%3A%20int,%20right%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%80%89%E5%8F%96%E4%B8%89%E4%B8%AA%E5%80%99%E9%80%89%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E4%B8%AD%E4%BD%8D%E6%95%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20l,%20m,%20r%20%3D%20nums%5Bleft%5D,%20nums%5Bmid%5D,%20nums%5Bright%5D%0A%20%20%20%20if%20%28l%20%3C%3D%20m%20%3C%3D%20r%29%20or%20%28r%20%3C%3D%20m%20%3C%3D%20l%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mid%20%20%23%20m%20%E5%9C%A8%20l%20%E5%92%8C%20r%20%E4%B9%8B%E9%97%B4%0A%20%20%20%20if%20%28m%20%3C%3D%20l%20%3C%3D%20r%29%20or%20%28r%20%3C%3D%20l%20%3C%3D%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20left%20%20%23%20l%20%E5%9C%A8%20m%20%E5%92%8C%20r%20%E4%B9%8B%E9%97%B4%0A%20%20%20%20return%20right%0A%0Adef%20partition%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20left%3A%20int,%20right%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%93%A8%E5%85%B5%E5%88%92%E5%88%86%EF%BC%88%E4%B8%89%E6%95%B0%E5%8F%96%E4%B8%AD%E5%80%BC%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%A5%20nums%5Bleft%5D%20%E4%B8%BA%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%0A%20%20%20%20med%20%3D%20median_three%28nums,%20left,%20%28left%20%2B%20right%29%20//%202,%20right%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E4%B8%AD%E4%BD%8D%E6%95%B0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E6%95%B0%E7%BB%84%E6%9C%80%E5%B7%A6%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20nums%5Bleft%5D,%20nums%5Bmed%5D%20%3D%20nums%5Bmed%5D,%20nums%5Bleft%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%A5%20nums%5Bleft%5D%20%E4%B8%BA%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%20left,%20right%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%20and%20nums%5Bj%5D%20%3E%3D%20nums%5Bleft%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20-%3D%201%20%20%23%20%E4%BB%8E%E5%8F%B3%E5%90%91%E5%B7%A6%E6%89%BE%E9%A6%96%E4%B8%AA%E5%B0%8F%E4%BA%8E%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%20and%20nums%5Bi%5D%20%3C%3D%20nums%5Bleft%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%20%20%23%20%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E5%90%91%E5%8F%B3%E6%89%BE%E9%A6%96%E4%B8%AA%E5%A4%A7%E4%BA%8E%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bi%5D,%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%5D,%20nums%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E4%B8%A4%E5%AD%90%E6%95%B0%E7%BB%84%E7%9A%84%E5%88%86%E7%95%8C%E7%BA%BF%0A%20%20%20%20nums%5Bi%5D,%20nums%5Bleft%5D%20%3D%20nums%5Bleft%5D,%20nums%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20i%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E4%B8%AD%E4%BD%8D%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E4%BC%98%E5%8C%96%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B2,%204,%201,%200,%203,%205%5D%0A%20%20%20%20partition%28nums,%200,%20len%28nums%29%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%93%A8%E5%85%B5%E5%88%92%E5%88%86%EF%BC%88%E4%B8%AD%E4%BD%8D%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E4%BC%98%E5%8C%96%EF%BC%89%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%90%8E%20nums%20%3D%22,%20nums%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20median_three%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20left%3A%20int,%20mid%3A%20int,%20right%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%80%89%E5%8F%96%E4%B8%89%E4%B8%AA%E5%80%99%E9%80%89%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E4%B8%AD%E4%BD%8D%E6%95%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20l,%20m,%20r%20%3D%20nums%5Bleft%5D,%20nums%5Bmid%5D,%20nums%5Bright%5D%0A%20%20%20%20if%20%28l%20%3C%3D%20m%20%3C%3D%20r%29%20or%20%28r%20%3C%3D%20m%20%3C%3D%20l%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mid%20%20%23%20m%20%E5%9C%A8%20l%20%E5%92%8C%20r%20%E4%B9%8B%E9%97%B4%0A%20%20%20%20if%20%28m%20%3C%3D%20l%20%3C%3D%20r%29%20or%20%28r%20%3C%3D%20l%20%3C%3D%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20left%20%20%23%20l%20%E5%9C%A8%20m%20%E5%92%8C%20r%20%E4%B9%8B%E9%97%B4%0A%20%20%20%20return%20right%0A%0Adef%20partition%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20left%3A%20int,%20right%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%93%A8%E5%85%B5%E5%88%92%E5%88%86%EF%BC%88%E4%B8%89%E6%95%B0%E5%8F%96%E4%B8%AD%E5%80%BC%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%A5%20nums%5Bleft%5D%20%E4%B8%BA%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%0A%20%20%20%20med%20%3D%20median_three%28nums,%20left,%20%28left%20%2B%20right%29%20//%202,%20right%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E4%B8%AD%E4%BD%8D%E6%95%B0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E6%95%B0%E7%BB%84%E6%9C%80%E5%B7%A6%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20nums%5Bleft%5D,%20nums%5Bmed%5D%20%3D%20nums%5Bmed%5D,%20nums%5Bleft%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%A5%20nums%5Bleft%5D%20%E4%B8%BA%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%20left,%20right%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%20and%20nums%5Bj%5D%20%3E%3D%20nums%5Bleft%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20-%3D%201%20%20%23%20%E4%BB%8E%E5%8F%B3%E5%90%91%E5%B7%A6%E6%89%BE%E9%A6%96%E4%B8%AA%E5%B0%8F%E4%BA%8E%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%20and%20nums%5Bi%5D%20%3C%3D%20nums%5Bleft%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%20%20%23%20%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E5%90%91%E5%8F%B3%E6%89%BE%E9%A6%96%E4%B8%AA%E5%A4%A7%E4%BA%8E%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bi%5D,%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%5D,%20nums%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E4%B8%A4%E5%AD%90%E6%95%B0%E7%BB%84%E7%9A%84%E5%88%86%E7%95%8C%E7%BA%BF%0A%20%20%20%20nums%5Bi%5D,%20nums%5Bleft%5D%20%3D%20nums%5Bleft%5D,%20nums%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20i%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E4%B8%AD%E4%BD%8D%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E4%BC%98%E5%8C%96%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B2,%204,%201,%200,%203,%205%5D%0A%20%20%20%20partition%28nums,%200,%20len%28nums%29%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%93%A8%E5%85%B5%E5%88%92%E5%88%86%EF%BC%88%E4%B8%AD%E4%BD%8D%E5%9F%BA%E5%87%86%E6%95%B0%E4%BC%98%E5%8C%96%EF%BC%89%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%90%8E%20nums%20%3D%22,%20nums%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
## 11.5.5 &nbsp; 尾递归优化
## 11.5.5 &nbsp; 递归深度优化
**在某些输入下，快速排序可能占用空间较多**。以完全有序的输入数组为例，设递归中的子数组长度为 $m$ ，每轮哨兵划分操作都将产生长度为 $0$ 的左子数组和长度为 $m - 1$ 的右子数组，这意味着每一层递归调用减少的问题规模非常小（只减少一个元素），递归树的高度会达到 $n - 1$ ，此时需要占用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
@@ -1171,7 +1171,7 @@ comments: true
```python title="quick_sort.py"
def quick_sort(self, nums: list[int], left: int, right: int):
"""快速排序（尾递归优化）"""
"""快速排序（递归深度优化）"""
# 子数组长度为 1 时终止
while left < right:
# 哨兵划分操作
@@ -1188,7 +1188,7 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="quick_sort.cpp"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
void quickSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
// 子数组长度为 1 时终止
while (left < right) {
@@ -1209,7 +1209,7 @@ comments: true
=== "Java"
```java title="quick_sort.java"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
// 子数组长度为 1 时终止
while (left < right) {
@@ -1230,7 +1230,7 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="quick_sort.cs"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
void QuickSort(int[] nums, int left, int right) {
// 子数组长度为 1 时终止
while (left < right) {
@@ -1251,7 +1251,7 @@ comments: true
=== "Go"
```go title="quick_sort.go"
/* 快速排序（尾递归优化）*/
/* 快速排序（递归深度优化）*/
func (q *quickSortTailCall) quickSort(nums []int, left, right int) {
// 子数组长度为 1 时终止
for left < right {
@@ -1272,7 +1272,7 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="quick_sort.swift"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
func quickSortTailCall(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {
var left = left
var right = right
@@ -1295,7 +1295,7 @@ comments: true
=== "JS"
```javascript title="quick_sort.js"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
quickSort(nums, left, right) {
// 子数组长度为 1 时终止
while (left < right) {
@@ -1316,7 +1316,7 @@ comments: true
=== "TS"
```typescript title="quick_sort.ts"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
quickSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
// 子数组长度为 1 时终止
while (left < right) {
@@ -1337,7 +1337,7 @@ comments: true
=== "Dart"
```dart title="quick_sort.dart"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
void quickSort(List<int> nums, int left, int right) {
// 子数组长度为 1 时终止
while (left < right) {
@@ -1358,7 +1358,7 @@ comments: true
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
pub fn quick_sort(mut left: i32, mut right: i32, nums: &mut [i32]) {
// 子数组长度为 1 时终止
while left < right {
@@ -1379,7 +1379,7 @@ comments: true
=== "C"
```c title="quick_sort.c"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
void quickSortTailCall(int nums[], int left, int right) {
// 子数组长度为 1 时终止
while (left < right) {
@@ -1404,7 +1404,7 @@ comments: true
=== "Kotlin"
```kotlin title="quick_sort.kt"
/* 快速排序（尾递归优化） */
/* 快速排序（递归深度优化） */
fun quickSortTailCall(nums: IntArray, left: Int, right: Int) {
// 子数组长度为 1 时终止
var l = left
@@ -1427,7 +1427,7 @@ comments: true
=== "Ruby"
```ruby title="quick_sort.rb"
### 快速排序（尾递归优化）###
### 快速排序（递归深度优化）###
def quick_sort(nums, left, right)
# 子数组长度不为 1 时递归
while left < right
@@ -1448,7 +1448,7 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="quick_sort.zig"
// 快速排序（尾递归优化）
// 快速排序（递归深度优化）
fn quickSort(nums: []i32, left_: usize, right_: usize) void {
var left = left_;
var right = right_;

8
docs/chapter_sorting/summary.md
View File

@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
- 冒泡排序通过交换相邻元素来实现排序。通过添加一个标志位来实现提前返回，我们可以将冒泡排序的最佳时间复杂度优化到 $O(n)$ 。
- 插入排序每轮将未排序区间内的元素插入到已排序区间的正确位置，从而完成排序。虽然插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，但由于单元操作相对较少，因此在小数据量的排序任务中非常受欢迎。
- 快速排序基于哨兵划分操作实现排序。在哨兵划分中，有可能每次都选取到最差的基准数，导致时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。引入中位数基准数或随机基准数可以降低这种劣化的概率。尾递归方法可以有效地减少递归深度，将空间复杂度优化到 $O(\log n)$ 。
- 快速排序基于哨兵划分操作实现排序。在哨兵划分中，有可能每次都选取到最差的基准数，导致时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。引入中位数基准数或随机基准数可以降低这种劣化的概率。通过优先递归较短子区间，可有效减小递归深度，将空间复杂度优化到 $O(\log n)$ 。
- 归并排序包括划分和合并两个阶段，典型地体现了分治策略。在归并排序中，排序数组需要创建辅助数组，空间复杂度为 $O(n)$ ；然而排序链表的空间复杂度可以优化至 $O(1)$ 。
- 桶排序包含三个步骤：数据分桶、桶内排序和合并结果。它同样体现了分治策略，适用于数据体量很大的情况。桶排序的关键在于对数据进行平均分配。
- 计数排序是桶排序的一个特例，它通过统计数据出现的次数来实现排序。计数排序适用于数据量大但数据范围有限的情况，并且要求数据能够转换为正整数。
@@ -38,11 +38,11 @@ comments: true
再深入思考一下，如果我们选择 `nums[right]` 为基准数，那么正好反过来，必须先“从左往右查找”。
**Q**：关于尾递归优化，为什么选短的数组能保证递归深度不超过 $\log n$ ？
**Q**：关于快速排序的递归深度优化，为什么选短的数组能保证递归深度不超过 $\log n$ ？
递归深度就是当前未返回的递归方法的数量。每轮哨兵划分我们将原数组划分为两个子数组。在尾递归优化后，向下递归的子数组长度最大为原数组长度的一半。假设最差情况，一直为一半长度，那么最终的递归深度就是 $\log n$ 。
递归深度就是当前未返回的递归方法的数量。每轮哨兵划分我们将原数组划分为两个子数组。在递归深度优化后，向下递归的子数组长度最大为原数组长度的一半。假设最差情况，一直为一半长度，那么最终的递归深度就是 $\log n$ 。
回顾原始的快速排序，我们有可能会连续地递归长度较大的数组，最差情况下为 $n$、$n - 1$、$\dots$、$2$、$1$ ，递归深度为 $n$ 。尾递归优化可以避免这种情况出现。
回顾原始的快速排序，我们有可能会连续地递归长度较大的数组，最差情况下为 $n$、$n - 1$、$\dots$、$2$、$1$ ，递归深度为 $n$ 。递归深度优化可以避免这种情况出现。
**Q**：当数组中所有元素都相等时，快速排序的时间复杂度是 $O(n^2)$ 吗？该如何处理这种退化情况？