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chapter_searching/binary_search.md

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 # 10.2.   二分查找
 
-「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮缩小一半搜索区间来查找目标元素。
-
-使用二分查找有两个前置条件：
-
-- **要求输入数据是有序的**，这样才能通过判断大小关系来排除一半的搜索区间；
-- **二分查找仅适用于数组**，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。
+「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮减少一半搜索范围来定位目标元素。
 
 ## 10.2.1.   算法实现
 
-给定一个长度为 $n$ 的排序数组 `nums` ，元素从小到大排列。数组的索引取值范围为
+给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。数组索引的取值范围为：
 
 $$
 0, 1, 2, \cdots, n-1
 $$
 
-使用「区间」来表示这个取值范围的方法主要有两种：
+我们通常使用以下两种方法来表示这个取值范围：
 
-1. **双闭区间 $[0, n-1]$** ，即两个边界都包含自身；此方法下，区间 $[0, 0]$ 仍包含一个元素；
-2. **左闭右开 $[0, n)$** ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；此方法下，区间 $[0, 0)$ 为空；
+1. **双闭区间 $[0, n-1]$** ，即两个边界都包含自身；在此方法下，区间 $[0, 0]$ 仍包含 $1$ 个元素；
+2. **左闭右开 $[0, n)$** ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；在此方法下，区间 $[0, 0)$ 不包含元素；
 
 ### “双闭区间”实现
 
-首先，我们先采用“双闭区间”的表示，在数组 `nums` 中查找目标元素 `target` 的对应索引。
+首先，我们采用“双闭区间”表示法，在数组 `nums` 中查找目标元素 `target` 的对应索引。
 
 === "<1>"
     ![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step1.png)
@@ -49,7 +44,7 @@ $$
 === "<7>"
     ![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png)
 
-二分查找“双闭区间”表示下的代码如下所示。
+二分查找在“双闭区间”表示下的代码如下所示。
 
 === "Java"
 
@@ -260,7 +255,7 @@ $$
 
 ### “左闭右开”实现
 
-当然，我们也可以使用“左闭右开”的表示方法，写出相同功能的二分查找代码。
+此外，我们也可以采用“左闭右开”的表示法，编写具有相同功能的二分查找代码。
 
 === "Java"
 
@@ -472,7 +467,7 @@ $$
 
 ### 两种表示对比
 
-对比下来，两种表示的代码写法有以下不同点：
+对比这两种代码写法，我们可以发现以下不同点：
 
 <div class="center-table" markdown>
 
@@ -483,11 +478,11 @@ $$
 
 </div>
 
-观察发现，在“双闭区间”表示中，由于对左右两边界的定义是相同的，因此缩小区间的 $i$ , $j$ 处理方法也是对称的，这样更不容易出错。综上所述，**建议你采用“双闭区间”的写法。**
+在“双闭区间”表示法中，由于对左右两边界的定义相同，因此缩小区间的 $i$ 和 $j$ 的处理方法也是对称的，这样更不容易出错。因此，**建议采用“双闭区间”的写法**。
 
 ### 大数越界处理
 
-当数组长度很大时，加法 $i + j$ 的结果有可能会超出 `int` 类型的取值范围。在此情况下，我们需要换一种计算中点的写法。
+当数组长度非常大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围。在这种情况下，我们需要采用一种更安全的计算中点的方法。
 
 === "Java"
 
@@ -573,19 +568,19 @@ $$
 
 ## 10.2.2. &nbsp; 复杂度分析
 
-**时间复杂度 $O(\log n)$** ：其中 $n$ 为数组或链表长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。
+**时间复杂度 $O(\log n)$** ：其中 $n$ 为数组长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。
 
 **空间复杂度 $O(1)$** ：指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
 
-## 10.2.3. &nbsp; 优点与缺点
+## 10.2.3. &nbsp; 优点与局限性
 
-二分查找效率很高，体现在：
+二分查找效率很高，主要体现在：
 
-- **二分查找时间复杂度低**。对数阶在数据量很大时具有巨大优势，例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需要 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
-- **二分查找不需要额外空间**。相对于借助额外数据结构来实现查找的算法来说，其更加节约空间使用。
+- **二分查找的时间复杂度较低**。对数阶在大数据量情况下具有显著优势。例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
+- **二分查找无需额外空间**。与哈希查找相比，二分查找更加节省空间。
 
-但并不意味着所有情况下都应使用二分查找，这是因为：
+然而，并非所有情况下都可使用二分查找，原因如下：
 
-- **二分查找仅适用于有序数据**。如果输入数据是无序的，为了使用二分查找而专门执行数据排序，那么是得不偿失的，因为排序算法的时间复杂度一般为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更差。再例如，对于频繁插入元素的场景，为了保持数组的有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
-- **二分查找仅适用于数组**。由于在二分查找中，访问索引是 “非连续” 的，因此链表或者基于链表实现的数据结构都无法使用。
-- **在小数据量下，线性查找的性能更好**。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，在数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。
+- **二分查找仅适用于有序数据**。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
+- **二分查找仅适用于数组**。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
+- **小数据量下，线性查找性能更佳**。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。