CS_learn/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-04-23 18:11:45 +08:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2023-04-10 03:12:02 +08:00
parent 2289822dfd
commit 867ecf6d92
32 changed files with 329 additions and 445 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

62
chapter_sorting/bucket_sort.md
View File

@@ -4,15 +4,15 @@ comments: true
# 11.6.   桶排序
前面介绍的几种排序算法都属于 **基于比较的排序算法**，即通过比较元素之间的大小来实现排序，此类排序算法的时间复杂度无法超越 $O(n \log n)$ 。接下来，我们将学习几种 **非比较排序算法** ，其时间复杂度可以达到线性级别。
前述的几种排序算法都属于“基于比较的排序算法”，它们通过比较元素间的大小来实现排序。此类排序算法的时间复杂度无法超越 $O(n \log n)$ 。接下来，我们将探讨几种“非比较排序算法”，它们的时间复杂度可以达到线性水平。
「桶排序 Bucket Sort」是分治思想的典型体现，其通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中，并在每个桶内部分别执行排序，最终按照桶的顺序将所有数据合并即可。
「桶排序 Bucket Sort」是分治思想的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。
## 11.6.1.   算法流程
输入一个长度为 $n$ 的数组，元素是范围 $[0, 1)$ 的浮点数，桶排序流程为：
考虑一个长度为 $n$ 的数组，元素是范围 $[0, 1)$ 的浮点数。桶排序的流程如下：
1. 初始化 $k$ 个桶，将 $n$ 个元素分配至 $k$ 个桶中；
1. 初始化 $k$ 个桶，将 $n$ 个元素分配到 $k$ 个桶中；
2. 对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）；
3. 按照桶的从小到大的顺序，合并结果；
@@ -40,7 +40,7 @@ comments: true
}
// 2. 对各个桶执行排序
for (List<Float> bucket : buckets) {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
// 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
Collections.sort(bucket);
}
// 3. 遍历桶合并结果
@@ -56,31 +56,7 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="bucket_sort.cpp"
/* 桶排序 */
void bucketSort(vector<float> &nums) {
// 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
int k = nums.size() / 2;
vector<vector<float>> buckets(k);
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (float num : nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = num * k;
// 将 num 添加进桶 bucket_idx
buckets[i].push_back(num);
}
// 2. 对各个桶执行排序
for (vector<float> &bucket : buckets) {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
sort(bucket.begin(), bucket.end());
}
// 3. 遍历桶合并结果
int i = 0;
for (vector<float> &bucket : buckets) {
for (float num : bucket) {
nums[i++] = num;
}
}
}
[class]{}-[func]{bucketSort}
```
=== "Python"
@@ -99,7 +75,7 @@ comments: true
buckets[i].append(num)
# 2. 对各个桶执行排序5
for bucket in buckets:
# 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
# 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
bucket.sort()
# 3. 遍历桶合并结果
i = 0
@@ -129,7 +105,7 @@ comments: true
}
// 2. 对各个桶执行排序
for i := 0; i < k; i++ {
// 使用内置切片排序函数，也可以替换成其它排序算法
// 使用内置切片排序函数，也可以替换成其他排序算法
sort.Float64s(buckets[i])
}
// 3. 遍历桶合并结果
@@ -163,7 +139,7 @@ comments: true
}
// 2. 对各个桶执行排序
for (const bucket of buckets) {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
// 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
bucket.sort((a, b) => a - b);
}
// 3. 遍历桶合并结果
@@ -196,7 +172,7 @@ comments: true
}
// 2. 对各个桶执行排序
for (const bucket of buckets) {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
// 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
bucket.sort((a, b) => a - b);
}
// 3. 遍历桶合并结果
@@ -238,7 +214,7 @@ comments: true
}
// 2. 对各个桶执行排序
for i in buckets.indices {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
// 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
buckets[i].sort()
}
// 3. 遍历桶合并结果
@@ -258,31 +234,31 @@ comments: true
[class]{}-[func]{bucketSort}
```
!!! question "桶排序的应用场景是什么？"
!!! question "桶排序的适用场景是什么？"
桶排序一般用于排序超大体量的数据。例如输入数据包含 100 万个元素，由于空间有限，系统无法一次性将所有数据加载进内存，那么可以先将数据划分到 1000 个桶里，再依次排序每个桶，最终合并结果即可。
桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。
## 11.6.2. &nbsp; 算法特性
**时间复杂度 $O(n + k)$** ：假设元素平均分布在各个桶内，则每个桶内元素数量为 $\frac{n}{k}$ 。假设排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，则排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间，**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。最后合并结果需要遍历 $n$ 个桶，使用 $O(k)$ 时间。
**时间复杂度 $O(n + k)$** ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 $\frac{n}{k}$ 。假设排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，则排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。合并结果时需要遍历 $n$ 个桶，花费 $O(k)$ 时间。
最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序算法退化至 $O(n^2)$ ，此时使用 $O(n^2)$ 时间，因此是“自适应排序”。
在最坏情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 $O(n^2)$ 时间，因此是“自适应排序”。
**空间复杂度 $O(n + k)$** ：需要借助 $k$ 个桶和共 $n$ 个元素的额外空间，是“非原地排序”。
**空间复杂度 $O(n + k)$** ：需要借助 $k$ 个桶和总共 $n$ 个元素的额外空间，属于“非原地排序”。
桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。
## 11.6.3. &nbsp; 如何实现平均分配
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 $O(n)$ ，**难点是需要将元素均匀分配到各个桶中**，因为现实中的数据往往都不是均匀分布的。举个例子，假设我们想要把淘宝的所有商品根据价格范围平均分配到 10 个桶中，然而商品价格不是均匀分布的，100 元以下非常多、1000 元以上非常少；如果我们将价格区间平均划为 10 份，那么各个桶内的商品数量差距会非常大。
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 $O(n)$ ，**关键在于将元素均匀分配到各个桶中**，因为实际数据往往不是均匀分布的。例如，我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到 10 个桶中，但商品价格分布不均，低于 100 元的非常多，高于 1000 元的非常少。若将价格区间平均划分为 10 份，各个桶中的商品数量差距会非常大。
为了实现平均分配，我们可以先大致设置一个分界线，将数据粗略分到 3 个桶，分配完后，**再把商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶内元素数量大致平均为止**。此方法本质上是生成一个递归树，让叶节点的值尽量平均。当然，不一定非要划分为 3 个桶，可以根据数据特点灵活选取。
为实现平均分配，我们可以先设定一个大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。**分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等**。这种方法本质上是创建一个递归树，使叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。
![递归划分桶](bucket_sort.assets/scatter_in_buckets_recursively.png)
<p align="center"> Fig. 递归划分桶 </p>
如果我们提前知道商品价格的概率分布，**那么也可以根据数据概率分布来设置每个桶的价格分界线**。注意，数据分布不一定需要特意去统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型来近似。如下图所示，我们假设商品价格服从正态分布，就可以合理设置价格区间，将商品平均分配到各个桶中。
如果我们提前知道商品价格的概率分布，**则可以根据数据概率分布设置每个桶的价格分界线**。值得注意的是，数据分布并不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型进行近似。如下图所示，我们假设商品价格服从正态分布，这样就可以合理地设定价格区间，从而将商品平均分配到各个桶中。
![根据概率分布划分桶](bucket_sort.assets/scatter_in_buckets_distribution.png)