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https://github.com/krahets/hello-algo.git
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This commit is contained in:
krahets
@@ -2572,23 +2572,63 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#1321" class="md-nav__link">
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13.2.1. 无重复的情况
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13.2.1. 无相等元素的情况
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代码实现
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重复选择剪枝
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13.2.2. 考虑重复的情况
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13.2.2. 考虑相等元素的情况
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="13.2.2. 考虑相等元素的情况">
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代码实现
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#1323" class="md-nav__link">
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13.2.3. 复杂度分析
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_4" class="md-nav__link">
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两种剪枝对比
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复杂度分析
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<a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
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<span class="md-ellipsis">
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15.4. 最大切分乘积问题
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<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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@@ -3285,23 +3355,63 @@
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<a href="#1321" class="md-nav__link">
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13.2.1. 无重复的情况
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13.2.1. 无相等元素的情况
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<a href="#_1" class="md-nav__link">
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代码实现
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</li>
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重复选择剪枝
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#1322" class="md-nav__link">
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13.2.2. 考虑重复的情况
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13.2.2. 考虑相等元素的情况
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="13.2.2. 考虑相等元素的情况">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_3" class="md-nav__link">
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代码实现
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#1323" class="md-nav__link">
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13.2.3. 复杂度分析
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_4" class="md-nav__link">
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两种剪枝对比
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_5" class="md-nav__link">
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复杂度分析
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</a>
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</li>
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</nav>
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</li>
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</ul>
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@@ -3354,7 +3464,7 @@
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</tbody>
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</table>
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</div>
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<h2 id="1321">13.2.1. 无重复的情况<a class="headerlink" href="#1321" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<h2 id="1321">13.2.1. 无相等元素的情况<a class="headerlink" href="#1321" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">Question</p>
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<p>输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。</p>
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@@ -3365,6 +3475,7 @@
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<p><img alt="全排列的递归树" src="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 全排列的递归树 </p>
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<h3 id="_1">代码实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 <code>backtrack()</code> 函数中。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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@@ -3656,12 +3767,13 @@
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</div>
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</div>
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</div>
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<h3 id="_2">重复选择剪枝<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 <code>selected</code> ，它的长度与输入数组长度相等，其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择。我们利用 <code>selected</code> 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。</p>
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<p>如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。<strong>此剪枝操作可将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span></strong> 。</p>
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<p><img alt="全排列剪枝示例" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 全排列剪枝示例 </p>
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<h2 id="1322">13.2.2. 考虑重复的情况<a class="headerlink" href="#1322" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<h2 id="1322">13.2.2. 考虑相等元素的情况<a class="headerlink" href="#1322" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">Question</p>
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<p>输入一个整数数组，<strong>数组中可能包含重复元素</strong>，返回所有不重复的排列。</p>
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@@ -3672,10 +3784,12 @@
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<p>那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，<strong>因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝</strong>，这样可以进一步提升算法效率。</p>
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<p>观察发现，在第一轮中，选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝掉。同理，在第一轮选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 后，第二轮选择中的 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
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<p>本质上看，<strong>我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次</strong>。</p>
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<p><img alt="重复排列剪枝" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 重复排列剪枝 </p>
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<p>本质上看，<strong>我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次</strong>。因此，在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 <code>duplicated</code> ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。</p>
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<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 <code>duplicated</code> ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@@ -3983,6 +4097,7 @@
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</div>
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</div>
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</div>
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<h3 id="_4">两种剪枝对比<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>注意，虽然 <code>selected</code> 和 <code>duplicated</code> 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：</p>
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<ul>
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<li><strong>剪枝条件一</strong>：整个搜索过程中只有一个 <code>selected</code> 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 <code>state</code> 中重复出现。</li>
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@@ -3992,7 +4107,7 @@
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<p><img alt="两种剪枝条件的作用范围" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 两种剪枝条件的作用范围 </p>
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<h2 id="1323">13.2.3. 复杂度分析<a class="headerlink" href="#1323" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<h3 id="_5">复杂度分析<a class="headerlink" href="#_5" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>假设元素两两之间互不相同，则 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个元素共有 <span class="arithmatex">\(n!\)</span> 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的列表，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间。因此，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n!n)\)</span></strong> 。</p>
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<p>最大递归深度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。<code>selected</code> 使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间。同一时刻最多共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个 <code>duplicated</code> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间。因此，<strong>全排列 I 的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ，全排列 II 的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span></strong> 。</p>
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