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chapter_backtracking/permutations_problem.md

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 全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。
 
-下表列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。
+表 13-1 列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。
 
-<p align="center"> 表：数组与链表的效率对比 </p>
+<p align="center"> 表 13-1 &nbsp; 数组与链表的效率对比 </p>
 
 <div class="center-table" markdown>
 
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 从回溯代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，**因此 `state` 中的所有元素都应该是唯一的**。
 
-如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 `state` 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
+如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 `state` 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
 
 ![全排列的递归树](permutations_problem.assets/permutations_i.png)
 
-<p align="center"> 图：全排列的递归树 </p>
+<p align="center"> 图 13-5 &nbsp; 全排列的递归树 </p>
 
 ### 1. &nbsp; 重复选择剪枝
 
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 - 在做出选择 `choice[i]` 后，我们就将 `selected[i]` 赋值为 $\text{True}$ ，代表它已被选择。
 - 遍历选择列表 `choices` 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。
 
-如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。
+如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。
 
 ![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
 
-<p align="center"> 图：全排列剪枝示例 </p>
+<p align="center"> 图 13-6 &nbsp; 全排列剪枝示例 </p>
 
-观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$ 。
+观察图 13-6 发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$ 。
 
 ### 2. &nbsp; 代码实现
 
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 假设输入数组为 $[1, 1, 2]$ 。为了方便区分两个重复元素 $1$ ，我们将第二个 $1$ 记为 $\hat{1}$ 。
 
-如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
+如图 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
 
 ![重复排列](permutations_problem.assets/permutations_ii.png)
 
-<p align="center"> 图：重复排列 </p>
+<p align="center"> 图 13-7 &nbsp; 重复排列 </p>
 
 那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。
 
 ### 1. &nbsp; 相等元素剪枝
 
-观察下图，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。
+观察图 13-8 ，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。
 
 同理，在第一轮选择 $2$ 之后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。
 
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 ![重复排列剪枝](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png)
 
-<p align="center"> 图：重复排列剪枝 </p>
+<p align="center"> 图 13-8 &nbsp; 重复排列剪枝 </p>
 
 ### 2. &nbsp; 代码实现
 
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 - **重复选择剪枝**：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
 - **相等元素剪枝**：每轮选择（即每个开启的 `backtrack` 函数）都包含一个 `duplicated` 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次。
 
-下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
+图 13-9 展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
 
 ![两种剪枝条件的作用范围](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png)
 
-<p align="center"> 图：两种剪枝条件的作用范围 </p>
+<p align="center"> 图 13-9 &nbsp; 两种剪枝条件的作用范围 </p>