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2023-08-22 13:50:12 +08:00
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4
chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md
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@@ -39,11 +39,11 @@ status: new
2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。
3. 循环第 `1.` , `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。
下图展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。
图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。
![二分查找的分治过程](binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png)
<p align="center"> 图：二分查找的分治过程 </p>
<p align="center"> 图 12-4 &nbsp; 二分查找的分治过程 </p>
在实现代码中，我们声明一个递归函数 `dfs()` 来求解问题 $f(i, j)$ 。

22
chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md
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@@ -11,7 +11,7 @@ status: new
![构建二叉树的示例数据](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png)
<p align="center"> 图：构建二叉树的示例数据 </p>
<p align="center"> 图 12-5 &nbsp; 构建二叉树的示例数据 </p>
### 1. &nbsp; 判断是否为分治问题
@@ -27,10 +27,10 @@ status: new
根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分：
- 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如上图 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
- 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如上图 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
- 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如图 12-5 的树对应 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
- 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如图 12-5 的树对应 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
以上图数据为例，我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果：
以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果：
1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。
@@ -38,7 +38,7 @@ status: new
![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)
<p align="center"> 图：在前序和中序遍历中划分子树 </p>
<p align="center"> 图 12-6 &nbsp; 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
### 3. &nbsp; 基于变量描述子树区间
@@ -48,9 +48,9 @@ status: new
- 将当前树的根节点在 `inorder` 中的索引记为 $m$ 。
- 将当前树在 `inorder` 中的索引区间记为 $[l, r]$ 。
如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 `preorder` 中的索引，以及子树在 `inorder` 中的索引区间。
如表 12-1 所示，通过以上变量即可表示根节点在 `preorder` 中的索引，以及子树在 `inorder` 中的索引区间。
<p align="center"> 表：根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
<p align="center"> 表 12-1 &nbsp; 根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
<div class="center-table" markdown>
@@ -62,11 +62,11 @@ status: new
</div>
请注意，右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。
请注意，右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合图 12-7 理解。
![根节点和左右子树的索引区间表示](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png)
<p align="center"> 图：根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
<p align="center"> 图 12-7 &nbsp; 根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
### 4. &nbsp; 代码实现
@@ -400,7 +400,7 @@ status: new
}
```
下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
=== "<1>"
![构建二叉树的递归过程](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step1.png)
@@ -432,7 +432,7 @@ status: new
=== "<10>"
![built_tree_step10](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step10.png)
<p align="center"> 图：构建二叉树的递归过程 </p>
<p align="center"> 图 12-8 &nbsp; 构建二叉树的递归过程 </p>
设树的节点数量为 $n$ ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。

12
chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md
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@@ -10,14 +10,14 @@ status: new
1. **分（划分阶段）**：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。
2. **治（合并阶段）**：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。
如下图所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：
如图 12-1 所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：
1. **分**：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。
2. **治**：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。
![归并排序的分治策略](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_merge_sort.png)
<p align="center"> 图：归并排序的分治策略 </p>
<p align="center"> 图 12-1 &nbsp; 归并排序的分治策略 </p>
## 12.1.1 &nbsp; 如何判断分治问题
@@ -41,7 +41,7 @@ status: new
### 1. &nbsp; 操作数量优化
以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 $n$ 的数组需要 $O(n^2)$ 时间。假设我们按照下图所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要 $O(n)$ 时间，排序每个子数组需要 $O((n / 2)^2)$ 时间，合并两个子数组需要 $O(n)$ 时间，总体时间复杂度为：
以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 $n$ 的数组需要 $O(n^2)$ 时间。假设我们按照图 12-2 所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要 $O(n)$ 时间，排序每个子数组需要 $O((n / 2)^2)$ 时间，合并两个子数组需要 $O(n)$ 时间，总体时间复杂度为：
$$
O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
@@ -49,7 +49,7 @@ $$
![划分数组前后的冒泡排序](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_bubble_sort.png)
<p align="center"> 图：划分数组前后的冒泡排序 </p>
<p align="center"> 图 12-2 &nbsp; 划分数组前后的冒泡排序 </p>
接下来，我们计算以下不等式，其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数：
@@ -73,11 +73,11 @@ $$
并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。
比如在下图所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。
比如在图 12-3 所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。
![桶排序的并行计算](divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_parallel_computing.png)
<p align="center"> 图：桶排序的并行计算 </p>
<p align="center"> 图 12-3 &nbsp; 桶排序的并行计算 </p>
## 12.1.3 &nbsp; 分治常见应用

23
chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md
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@@ -17,13 +17,13 @@ status: new
![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png)
<p align="center"> 图：汉诺塔问题示例 </p>
<p align="center"> 图 12-9 &nbsp; 汉诺塔问题示例 </p>
**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
### 1. &nbsp; 考虑基本情况
如下图所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
如图 12-10 所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
=== "<1>"
![规模为 1 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png)
@@ -31,9 +31,9 @@ status: new
=== "<2>"
![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png)
<p align="center"> 图：规模为 1 问题的解 </p>
<p align="center"> 图 12-10 &nbsp; 规模为 1 问题的解 </p>
如下图所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。
如图 12-11 所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。
1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。
2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。
@@ -51,7 +51,7 @@ status: new
=== "<4>"
![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png)
<p align="center"> 图：规模为 2 问题的解 </p>
<p align="center"> 图 12-11 &nbsp; 规模为 2 问题的解 </p>
解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。
@@ -59,13 +59,12 @@ status: new
对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。
因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行图 12-12 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` 。
2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。
3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` 。
=== "<1>"
![规模为 3 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png)
@@ -78,11 +77,11 @@ status: new
=== "<4>"
![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png)
<p align="center"> 图：规模为 3 问题的解 </p>
<p align="center"> 图 12-12 &nbsp; 规模为 3 问题的解 </p>
本质上看，**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。
至此，我们可总结出下图所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为：
至此，我们可总结出图 12-13 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为：
1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。
@@ -92,7 +91,7 @@ status: new
![汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png)
<p align="center"> 图：汉诺塔问题的分治策略 </p>
<p align="center"> 图 12-13 &nbsp; 汉诺塔问题的分治策略 </p>
### 3. &nbsp; 代码实现
@@ -434,11 +433,11 @@ status: new
}
```
如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
如图 12-14 所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)
<p align="center"> 图：汉诺塔问题的递归树 </p>
<p align="center"> 图 12-14 &nbsp; 汉诺塔问题的递归树 </p>
!!! quote