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synced 2026-04-23 18:11:45 +08:00
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krahets
@@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
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「冒泡排序 bubble sort」通过连续地比较与交换相邻元素实现排序。这个过程就像气泡从底部升到顶部一样，因此得名冒泡排序。
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如下图所示，冒泡过程可以利用元素交换操作来模拟：从数组最左端开始向右遍历，依次比较相邻元素大小，如果“左元素 > 右元素”就交换它俩。遍历完成后，最大的元素会被移动到数组的最右端。
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如图 11-4 所示，冒泡过程可以利用元素交换操作来模拟：从数组最左端开始向右遍历，依次比较相邻元素大小，如果“左元素 > 右元素”就交换它俩。遍历完成后，最大的元素会被移动到数组的最右端。
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=== "<1>"
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=== "<7>"
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<p align="center"> 图：利用元素交换操作模拟冒泡 </p>
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<p align="center"> 图 11-4 利用元素交换操作模拟冒泡 </p>
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## 11.3.1 算法流程
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设数组的长度为 $n$ ，冒泡排序的步骤如下图所示。
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设数组的长度为 $n$ ，冒泡排序的步骤如图 11-5 所示。
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1. 首先，对 $n$ 个元素执行“冒泡”，**将数组的最大元素交换至正确位置**，
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2. 接下来，对剩余 $n - 1$ 个元素执行“冒泡”，**将第二大元素交换至正确位置**。
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@@ -42,7 +42,7 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：冒泡排序流程 </p>
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<p align="center"> 图 11-5 冒泡排序流程 </p>
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=== "Java"
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## 11.8.1 算法流程
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考虑一个长度为 $n$ 的数组，元素是范围 $[0, 1)$ 的浮点数。桶排序的流程如下图所示。
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考虑一个长度为 $n$ 的数组，元素是范围 $[0, 1)$ 的浮点数。桶排序的流程如图 11-13 所示。
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1. 初始化 $k$ 个桶，将 $n$ 个元素分配到 $k$ 个桶中。
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2. 对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）。
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@@ -18,7 +18,7 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：桶排序算法流程 </p>
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<p align="center"> 图 11-13 桶排序算法流程 </p>
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=== "Java"
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@@ -409,16 +409,16 @@ comments: true
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为实现平均分配，我们可以先设定一个大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。**分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等**。
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如下图所示，这种方法本质上是创建一个递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。
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如图 11-14 所示，这种方法本质上是创建一个递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。
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<p align="center"> 图：递归划分桶 </p>
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<p align="center"> 图 11-14 递归划分桶 </p>
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如果我们提前知道商品价格的概率分布，**则可以根据数据概率分布设置每个桶的价格分界线**。值得注意的是，数据分布并不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型进行近似。
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如下图所示，我们假设商品价格服从正态分布，这样就可以合理地设定价格区间，从而将商品平均分配到各个桶中。
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如图 11-15 所示，我们假设商品价格服从正态分布，这样就可以合理地设定价格区间，从而将商品平均分配到各个桶中。
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<p align="center"> 图：根据概率分布划分桶 </p>
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<p align="center"> 图 11-15 根据概率分布划分桶 </p>
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@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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## 11.9.1 简单实现
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先来看一个简单的例子。给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的整体流程如下图所示。
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先来看一个简单的例子。给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的整体流程如图 11-16 所示。
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1. 遍历数组，找出数组中的最大数字，记为 $m$ ，然后创建一个长度为 $m + 1$ 的辅助数组 `counter` 。
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2. **借助 `counter` 统计 `nums` 中各数字的出现次数**，其中 `counter[num]` 对应数字 `num` 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 `nums`（设当前数字为 `num`），每轮将 `counter[num]` 增加 $1$ 即可。
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@@ -16,7 +16,7 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：计数排序流程 </p>
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<p align="center"> 图 11-16 计数排序流程 </p>
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=== "Java"
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@@ -336,7 +336,7 @@ $$
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1. 将 `num` 填入数组 `res` 的索引 `prefix[num] - 1` 处。
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2. 令前缀和 `prefix[num]` 减小 $1$ ，从而得到下次放置 `num` 的索引。
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遍历完成后，数组 `res` 中就是排序好的结果，最后使用 `res` 覆盖原数组 `nums` 即可。下图展示了完整的计数排序流程。
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遍历完成后，数组 `res` 中就是排序好的结果，最后使用 `res` 覆盖原数组 `nums` 即可。图 11-17 展示了完整的计数排序流程。
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=== "<1>"
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@@ -362,7 +362,7 @@ $$
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=== "<8>"
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<p align="center"> 图：计数排序步骤 </p>
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<p align="center"> 图 11-17 计数排序步骤 </p>
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计数排序的实现代码如下所示。
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@@ -17,7 +17,7 @@ comments: true
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## 11.7.1 算法流程
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设数组的长度为 $n$ ，堆排序的流程如下图所示。
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设数组的长度为 $n$ ，堆排序的流程如图 11-12 所示。
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1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
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2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 $1$ ，已排序元素数量加 $1$ 。
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@@ -64,7 +64,7 @@ comments: true
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=== "<12>"
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<p align="center"> 图：堆排序步骤 </p>
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<p align="center"> 图 11-12 堆排序步骤 </p>
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在代码实现中，我们使用了与堆章节相同的从顶至底堆化 `sift_down()` 函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 `sift_down()` 函数添加一个长度参数 $n$ ，用于指定堆的当前有效长度。
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@@ -8,15 +8,15 @@ comments: true
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具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。
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下图展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 `base` ，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 `base` 赋值给目标索引。
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图 11-6 展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 `base` ，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 `base` 赋值给目标索引。
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<p align="center"> 图：单次插入操作 </p>
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<p align="center"> 图 11-6 单次插入操作 </p>
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## 11.4.1 算法流程
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插入排序的整体流程如下图所示。
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插入排序的整体流程如图 11-7 所示。
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1. 初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
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2. 选取数组的第 2 个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**数组的前 2 个元素已排序**。
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@@ -25,7 +25,7 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：插入排序流程 </p>
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<p align="center"> 图 11-7 插入排序流程 </p>
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=== "Java"
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@@ -4,18 +4,18 @@ comments: true
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# 11.6 归并排序
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「归并排序 merge sort」是一种基于分治策略的排序算法，包含下图所示的“划分”和“合并”阶段：
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「归并排序 merge sort」是一种基于分治策略的排序算法，包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段：
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1. **划分阶段**：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
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2. **合并阶段**：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。
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<p align="center"> 图：归并排序的划分与合并阶段 </p>
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<p align="center"> 图 11-10 归并排序的划分与合并阶段 </p>
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## 11.6.1 算法流程
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如下图所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组：
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如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组：
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1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）。
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2. 递归执行步骤 `1.` ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分。
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@@ -52,7 +52,7 @@ comments: true
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=== "<10>"
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<p align="center"> 图：归并排序步骤 </p>
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<p align="center"> 图 11-11 归并排序步骤 </p>
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观察发现，归并排序的递归顺序与二叉树的后序遍历相同，对比来看：
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「快速排序 quick sort」是一种基于分治策略的排序算法，运行高效，应用广泛。
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快速排序的核心操作是“哨兵划分”，其目标是：选择数组中的某个元素作为“基准数”，将所有小于基准数的元素移到其左侧，而大于基准数的元素移到其右侧。具体来说，哨兵划分的流程如下图所示。
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快速排序的核心操作是“哨兵划分”，其目标是：选择数组中的某个元素作为“基准数”，将所有小于基准数的元素移到其左侧，而大于基准数的元素移到其右侧。具体来说，哨兵划分的流程如图 11-8 所示。
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1. 选取数组最左端元素作为基准数，初始化两个指针 `i` 和 `j` 分别指向数组的两端。
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2. 设置一个循环，在每轮中使用 `i`（`j`）分别寻找第一个比基准数大（小）的元素，然后交换这两个元素。
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@@ -39,7 +39,7 @@ comments: true
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=== "<9>"
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<p align="center"> 图：哨兵划分步骤 </p>
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<p align="center"> 图 11-8 哨兵划分步骤 </p>
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哨兵划分完成后，原数组被划分成三部分：左子数组、基准数、右子数组，且满足“左子数组任意元素 $\leq$ 基准数 $\leq$ 右子数组任意元素”。因此，我们接下来只需对这两个子数组进行排序。
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@@ -362,7 +362,7 @@ comments: true
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## 11.5.1 算法流程
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快速排序的整体流程如下图所示。
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快速排序的整体流程如图 11-9 所示。
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1. 首先，对原数组执行一次“哨兵划分”，得到未排序的左子数组和右子数组。
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2. 然后，对左子数组和右子数组分别递归执行“哨兵划分”。
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@@ -370,7 +370,7 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：快速排序流程 </p>
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<p align="center"> 图 11-9 快速排序流程 </p>
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=== "Java"
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## 11.10.1 算法流程
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以学号数据为例，假设数字的最低位是第 $1$ 位，最高位是第 $8$ 位，基数排序的流程如下图所示。
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以学号数据为例，假设数字的最低位是第 $1$ 位，最高位是第 $8$ 位，基数排序的流程如图 11-18 所示。
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1. 初始化位数 $k = 1$ 。
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2. 对学号的第 $k$ 位执行“计数排序”。完成后，数据会根据第 $k$ 位从小到大排序。
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@@ -18,7 +18,7 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：基数排序算法流程 </p>
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<p align="center"> 图 11-18 基数排序算法流程 </p>
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下面来剖析代码实现。对于一个 $d$ 进制的数字 $x$ ，要获取其第 $k$ 位 $x_k$ ，可以使用以下计算公式：
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@@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
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「选择排序 selection sort」的工作原理非常直接：开启一个循环，每轮从未排序区间选择最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。
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设数组的长度为 $n$ ，选择排序的算法流程如下图所示。
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设数组的长度为 $n$ ，选择排序的算法流程如图 11-2 所示。
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1. 初始状态下，所有元素未排序，即未排序（索引）区间为 $[0, n-1]$ 。
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2. 选取区间 $[0, n-1]$ 中的最小元素，将其与索引 $0$ 处元素交换。完成后，数组前 1 个元素已排序。
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@@ -47,7 +47,7 @@ comments: true
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=== "<11>"
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<p align="center"> 图：选择排序步骤 </p>
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<p align="center"> 图 11-2 选择排序步骤 </p>
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在代码中，我们用 $k$ 来记录未排序区间内的最小元素。
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- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、非自适应排序**：外循环共 $n - 1$ 轮，第一轮的未排序区间长度为 $n$ ，最后一轮的未排序区间长度为 $2$ ，即各轮外循环分别包含 $n$ , $n - 1$ , $\dots$ , $2$ 轮内循环，求和为 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。
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- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序**：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。
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- **非稳定排序**：如下图所示，元素 `nums[i]` 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者相对顺序发生改变。
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- **非稳定排序**：如图 11-3 所示，元素 `nums[i]` 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者相对顺序发生改变。
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<p align="center"> 图：选择排序非稳定示例 </p>
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<p align="center"> 图 11-3 选择排序非稳定示例 </p>
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@@ -6,11 +6,11 @@ comments: true
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「排序算法 sorting algorithm」用于对一组数据按照特定顺序进行排列。排序算法有着广泛的应用，因为有序数据通常能够被更有效地查找、分析和处理。
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如下图所示，排序算法中的数据类型可以是整数、浮点数、字符或字符串等。排序的判断规则可根据需求设定，如数字大小、字符 ASCII 码顺序或自定义规则。
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如图 11-1 所示，排序算法中的数据类型可以是整数、浮点数、字符或字符串等。排序的判断规则可根据需求设定，如数字大小、字符 ASCII 码顺序或自定义规则。
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<p align="center"> 图：数据类型和判断规则示例 </p>
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<p align="center"> 图 11-1 数据类型和判断规则示例 </p>
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## 11.1.1 评价维度
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@@ -12,11 +12,11 @@ comments: true
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- 计数排序是桶排序的一个特例，它通过统计数据出现的次数来实现排序。计数排序适用于数据量大但数据范围有限的情况，并且要求数据能够转换为正整数。
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- 基数排序通过逐位排序来实现数据排序，要求数据能够表示为固定位数的数字。
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- 总的来说，我们希望找到一种排序算法，具有高效率、稳定、原地以及正向自适应性等优点。然而，正如其他数据结构和算法一样，没有一种排序算法能够同时满足所有这些条件。在实际应用中，我们需要根据数据的特性来选择合适的排序算法。
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- 下图对比了主流排序算法的效率、稳定性、就地性和自适应性等。
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- 图 11-19 对比了主流排序算法的效率、稳定性、就地性和自适应性等。
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<p align="center"> 图：排序算法对比 </p>
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<p align="center"> 图 11-19 排序算法对比 </p>
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## 11.11.1 Q & A
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