CS_learn/hello-algo
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49
chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md
View File

@@ -209,7 +209,21 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(List<int> cost) {
int n = cost.length - 1;
if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
List<int> dp = List.filled(n + 1, 0);
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "Rust"
@@ -386,7 +400,18 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(List<int> cost) {
int n = cost.length - 1;
if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
int a = cost[1], b = cost[2];
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Rust"
@@ -632,7 +657,25 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_constraint_dp.dart"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return n;
}
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(3, 0));
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
return dp[n][1] + dp[n][2];
}
```
=== "Rust"

85
chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
View File

@@ -276,7 +276,23 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="min_path_sum.dart"
[class]{}-[func]{minPathSumDFS}
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(List<List<int>> grid, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
// 在 Dart 中，int 类型是固定范围的整数，不存在表示“无穷大”的值
return BigInt.from(2).pow(31).toInt();
}
// 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
// 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
return min(left, up) + grid[i][j];
}
```
=== "Rust"
@@ -516,7 +532,28 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="min_path_sum.dart"
[class]{}-[func]{minPathSumDFSMem}
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(List<List<int>> grid, List<List<int>> mem, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
// 在 Dart 中，int 类型是固定范围的整数，不存在表示“无穷大”的值
return BigInt.from(2).pow(31).toInt();
}
// 若已有记录，则直接返回
if (mem[i][j] != -1) {
return mem[i][j];
}
// 左边和上边单元格的最小路径代价
int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
// 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j];
return mem[i][j];
}
```
=== "Rust"
@@ -765,7 +802,28 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="min_path_sum.dart"
[class]{}-[func]{minPathSumDP}
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(List<List<int>> grid) {
int n = grid.length, m = grid[0].length;
// 初始化 dp 表
List<List<int>> dp = List.generate(n, (i) => List.filled(m, 0));
dp[0][0] = grid[0][0];
// 状态转移：首行
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：首列
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}
```
=== "Rust"
@@ -1041,7 +1099,26 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="min_path_sum.dart"
[class]{}-[func]{minPathSumDPComp}
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(List<List<int>> grid) {
int n = grid.length, m = grid[0].length;
// 初始化 dp 表
List<int> dp = List.filled(m, 0);
dp[0] = grid[0][0];
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：其余行
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
// 状态转移：其余列
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1];
}
```
=== "Rust"

55
chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md
View File

@@ -307,7 +307,31 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="edit_distance.dart"
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
/* 编辑距离：动态规划 */
int editDistanceDP(String s, String t) {
int n = s.length, m = t.length;
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (_) => List.filled(m + 1, 0));
// 状态转移：首行首列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[0][j] = j;
}
// 状态转移：其余行列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[n][m];
}
```
=== "Rust"
@@ -643,7 +667,34 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="edit_distance.dart"
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
/* 编辑距离：状态压缩后的动态规划 */
int editDistanceDPComp(String s, String t) {
int n = s.length, m = t.length;
List<int> dp = List.filled(m + 1, 0);
// 状态转移：首行
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[j] = j;
}
// 状态转移：其余行
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 状态转移：首列
int leftup = dp[0]; // 暂存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i;
// 状态转移：其余列
for (int j = 1; j <= m; j++) {
int temp = dp[j];
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
}
}
return dp[m];
}
```
=== "Rust"

87
chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
View File

@@ -305,9 +305,31 @@ status: new
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_backtrack.dart"
[class]{}-[func]{backtrack}
/* 回溯 */
void backtrack(List<int> choices, int state, int n, List<int> res) {
// 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
if (state == n) {
res[0]++;
}
// 遍历所有选择
for (int choice in choices) {
// 剪枝：不允许越过第 n 阶
if (state + choice > n) break;
// 尝试：做出选择，更新状态
backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
/* 爬楼梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
List<int> choices = [1, 2]; // 可选择向上爬 1 或 2 阶
int state = 0; // 从第 0 阶开始爬
List<int> res = [];
res.add(0); // 使用 res[0] 记录方案数量
backtrack(choices, state, n, res);
return res[0];
}
```
=== "Rust"
@@ -550,9 +572,19 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_dfs.dart"
[class]{}-[func]{dfs}
/* 搜索 */
int dfs(int i) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2) return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
}
[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
/* 爬楼梯：搜索 */
int climbingStairsDFS(int n) {
return dfs(n);
}
```
=== "Rust"
@@ -840,9 +872,25 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_dfs_mem.dart"
[class]{}-[func]{dfs}
/* 记忆化搜索 */
int dfs(int i, List<int> mem) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2) return i;
// 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
if (mem[i] != -1) return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 记录 dp[i]
mem[i] = count;
return count;
}
[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
// mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
List<int> mem = List.filled(n + 1, -1);
return dfs(n, mem);
}
```
=== "Rust"
@@ -1071,7 +1119,20 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
/* 爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return n;
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
List<int> dp = List.filled(n + 1, 0);
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
```
=== "Rust"
@@ -1270,7 +1331,17 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
/* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return n;
int a = 1, b = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Rust"

83
chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
View File

@@ -228,7 +228,22 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
int knapsackDFS(List<int> wgt, List<int> val, int i, int c) {
// 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若超过背包容量，则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return max(no, yes);
}
```
=== "Rust"
@@ -467,7 +482,33 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
int knapsackDFSMem(
List<int> wgt,
List<int> val,
List<List<int>> mem,
int i,
int c,
) {
// 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若已有记录，则直接返回
if (mem[i][c] != -1) {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量，则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = max(no, yes);
return mem[i][c];
}
```
=== "Rust"
@@ -692,7 +733,25 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
/* 0-1 背包：动态规划 */
int knapsackDP(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(cap + 1, 0));
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int c = 1; c <= cap; c++) {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量，则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[n][cap];
}
```
=== "Rust"
@@ -972,7 +1031,23 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
/* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
int knapsackDPComp(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
List<int> dp = List.filled(cap + 1, 0);
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 倒序遍历
for (int c = cap; c >= 1; c--) {
if (wgt[i - 1] <= c) {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[cap];
}
```
=== "Rust"

140
chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md
View File

@@ -225,7 +225,25 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="unbounded_knapsack.dart"
[class]{}-[func]{unboundedKnapsackDP}
/* 完全背包：动态规划 */
int unboundedKnapsackDP(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(cap + 1, 0));
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int c = 1; c <= cap; c++) {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量，则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[n][cap];
}
```
=== "Rust"
@@ -464,7 +482,25 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="unbounded_knapsack.dart"
[class]{}-[func]{unboundedKnapsackDPComp}
/* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
int unboundedKnapsackDPComp(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
List<int> dp = List.filled(cap + 1, 0);
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int c = 1; c <= cap; c++) {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量，则不选物品 i
dp[c] = dp[c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[cap];
}
```
=== "Rust"
@@ -497,7 +533,7 @@ $$
!!! question
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 个硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，**每种硬币可以重复选取**，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，**每种硬币可以重复选取**，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
![零钱兑换问题的示例数据](unbounded_knapsack_problem.assets/coin_change_example.png)
@@ -511,7 +547,7 @@ $$
**第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 $dp$ 表**
状态 $[i, a]$ 对应的子问题为：**前 $i$ 个硬币能够凑出金额 $a$ 的最少硬币个数**，记为 $dp[i, a]$ 。
状态 $[i, a]$ 对应的子问题为：**前 $i$ 种硬币能够凑出金额 $a$ 的最少硬币个数**，记为 $dp[i, a]$ 。
二维 $dp$ 表的尺寸为 $(n+1) \times (amt+1)$ 。
@@ -769,7 +805,30 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="coin_change.dart"
[class]{}-[func]{coinChangeDP}
/* 零钱兑换：动态规划 */
int coinChangeDP(List<int> coins, int amt) {
int n = coins.length;
int MAX = amt + 1;
// 初始化 dp 表
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(amt + 1, 0));
// 状态转移：首行首列
for (int a = 1; a <= amt; a++) {
dp[0][a] = MAX;
}
// 状态转移：其余行列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int a = 1; a <= amt; a++) {
if (coins[i - 1] > a) {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[i][a] = dp[i - 1][a];
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
dp[i][a] = min(dp[i - 1][a], dp[i][a - coins[i - 1]] + 1);
}
}
}
return dp[n][amt] != MAX ? dp[n][amt] : -1;
}
```
=== "Rust"
@@ -1065,7 +1124,27 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="coin_change.dart"
[class]{}-[func]{coinChangeDPComp}
/* 零钱兑换：状态压缩后的动态规划 */
int coinChangeDPComp(List<int> coins, int amt) {
int n = coins.length;
int MAX = amt + 1;
// 初始化 dp 表
List<int> dp = List.filled(amt + 1, MAX);
dp[0] = 0;
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int a = 1; a <= amt; a++) {
if (coins[i - 1] > a) {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[a] = dp[a];
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
dp[a] = min(dp[a], dp[a - coins[i - 1]] + 1);
}
}
}
return dp[amt] != MAX ? dp[amt] : -1;
}
```
=== "Rust"
@@ -1099,13 +1178,13 @@ $$
!!! question
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 个硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，**问在凑出目标金额的硬币组合数量**。
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，**问在凑出目标金额的硬币组合数量**。
![零钱兑换问题 II 的示例数据](unbounded_knapsack_problem.assets/coin_change_ii_example.png)
<p align="center"> Fig. 零钱兑换问题 II 的示例数据 </p>
相比于上一题，本题目标是组合数量，因此子问题变为：**前 $i$ 个硬币能够凑出金额 $a$ 的组合数量**。而 $dp$ 表仍然是尺寸为 $(n+1) \times (amt + 1)$ 的二维矩阵。
相比于上一题，本题目标是组合数量，因此子问题变为：**前 $i$ 种硬币能够凑出金额 $a$ 的组合数量**。而 $dp$ 表仍然是尺寸为 $(n+1) \times (amt + 1)$ 的二维矩阵。
当前状态的组合数量等于不选当前硬币与选当前硬币这两种决策的组合数量之和。状态转移方程为：
@@ -1332,7 +1411,29 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="coin_change_ii.dart"
[class]{}-[func]{coinChangeIIDP}
/* 零钱兑换 II：动态规划 */
int coinChangeIIDP(List<int> coins, int amt) {
int n = coins.length;
// 初始化 dp 表
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(amt + 1, 0));
// 初始化首列
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int a = 1; a <= amt; a++) {
if (coins[i - 1] > a) {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[i][a] = dp[i - 1][a];
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案之和
dp[i][a] = dp[i - 1][a] + dp[i][a - coins[i - 1]];
}
}
}
return dp[n][amt];
}
```
=== "Rust"
@@ -1561,7 +1662,26 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="coin_change_ii.dart"
[class]{}-[func]{coinChangeIIDPComp}
/* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
int coinChangeIIDPComp(List<int> coins, int amt) {
int n = coins.length;
// 初始化 dp 表
List<int> dp = List.filled(amt + 1, 0);
dp[0] = 1;
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int a = 1; a <= amt; a++) {
if (coins[i - 1] > a) {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[a] = dp[a];
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案之和
dp[a] = dp[a] + dp[a - coins[i - 1]];
}
}
}
return dp[amt];
}
```
=== "Rust"