CS_learn/hello-algo
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docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
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@@ -336,11 +336,11 @@ $$
=== "<14>"
![knapsack_dp_step14](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step14.png)
### 状态压缩
### 空间优化
由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。
进一步思考，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当开始遍历第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态。
进一步思考，我们是否可以仅用一个数组实现空间优化呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当开始遍历第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态。
- 如果采取正序遍历，那么遍历到 $dp[i, j]$ 时，左上方 $dp[i-1, 1]$ ~ $dp[i-1, j-1]$ 值可能已经被覆盖，此时就无法得到正确的状态转移结果。
- 如果采取倒序遍历，则不会发生覆盖问题，状态转移可以正确进行。
@@ -348,7 +348,7 @@ $$
下图展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
=== "<1>"
![0-1 背包的状态压缩后的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step1.png)
![0-1 背包的空间优化后的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step1.png)
=== "<2>"
![knapsack_dp_comp_step2](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step2.png)