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chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html

@@ -3394,8 +3394,8 @@
 <p>从分治角度，我们将搜索区间 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 对应的子问题记为 <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> 。</p>
 <p>从原问题 <span class="arithmatex">\(f(0, n-1)\)</span> 为起始点，二分查找的分治步骤为：</p>
 <ol>
-<li>计算搜索区间 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 的中点 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，根据它排除一半搜索区间；</li>
-<li>递归求解规模减小一半的子问题，可能为 <span class="arithmatex">\(f(i, m-1)\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(f(m+1, j)\)</span> ；</li>
+<li>计算搜索区间 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 的中点 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，根据它排除一半搜索区间。</li>
+<li>递归求解规模减小一半的子问题，可能为 <span class="arithmatex">\(f(i, m-1)\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(f(m+1, j)\)</span> 。</li>
 <li>循环第 <code>1.</code> , <code>2.</code> 步，直至找到 <code>target</code> 或区间为空时返回。</li>
 </ol>
 <p>下图展示了在数组中二分查找元素 <span class="arithmatex">\(6\)</span> 的分治过程。</p>

chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html

@@ -3428,14 +3428,14 @@
 <p>根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但问题是：<strong>如何通过前序遍历 <code>preorder</code> 和中序遍历 <code>inorder</code> 来划分左子树和右子树呢</strong>？</p>
 <p>根据定义，<code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 都可以被划分为三个部分：</p>
 <ul>
-<li>前序遍历：<code>[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> ；</li>
-<li>中序遍历：<code>[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 9 | 3 | 1 2 7 ]</code> ；</li>
+<li>前序遍历：<code>[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
+<li>中序遍历：<code>[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 9 | 3 | 1 2 7 ]</code> 。</li>
 </ul>
 <p>以上图数据为例，我们可以通过以下步骤得到上述的划分结果：</p>
 <ol>
-<li>前序遍历的首元素 3 是根节点的值；</li>
-<li>查找根节点 3 在 <code>inorder</code> 中的索引，利用该索引可将 <code>inorder</code> 划分为 <code>[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]</code> ；</li>
-<li>根据 <code>inorder</code> 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 <code>preorder</code> 划分为 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> ；</li>
+<li>前序遍历的首元素 3 是根节点的值。</li>
+<li>查找根节点 3 在 <code>inorder</code> 中的索引，利用该索引可将 <code>inorder</code> 划分为 <code>[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]</code> 。</li>
+<li>根据 <code>inorder</code> 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 <code>preorder</code> 划分为 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
 </ol>
 <p><img alt="在前序和中序遍历中划分子树" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
@@ -3443,9 +3443,9 @@
 <h3 id="_3">基于变量描述子树区间<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>根据以上划分方法，<strong>我们已经得到根节点、左子树、右子树在 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 中的索引区间</strong>。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：</p>
 <ul>
-<li>将当前树的根节点在 <code>preorder</code> 中的索引记为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ；</li>
-<li>将当前树的根节点在 <code>inorder</code> 中的索引记为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ；</li>
-<li>将当前树在 <code>inorder</code> 中的索引区间记为 <span class="arithmatex">\([l, r]\)</span> ；</li>
+<li>将当前树的根节点在 <code>preorder</code> 中的索引记为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 。</li>
+<li>将当前树的根节点在 <code>inorder</code> 中的索引记为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 。</li>
+<li>将当前树在 <code>inorder</code> 中的索引区间记为 <span class="arithmatex">\([l, r]\)</span> 。</li>
 </ul>
 <p>如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 <code>preorder</code> 中的索引，以及子树在 <code>inorder</code> 中的索引区间。</p>
 <div class="center-table">

chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html

@@ -3438,8 +3438,8 @@
 <h1 id="121">12.1. &nbsp; 分治算法<a class="headerlink" href="#121" title="Permanent link">&para;</a></h1>
 <p>「分治 Divide and Conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两步：</p>
 <ol>
-<li><strong>分（划分阶段）</strong>：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止；</li>
-<li><strong>治（合并阶段）</strong>：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解；</li>
+<li><strong>分（划分阶段）</strong>：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。</li>
+<li><strong>治（合并阶段）</strong>：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。</li>
 </ol>
 <p>已介绍过的「归并排序」是分治策略的典型应用之一，它的分治策略为：</p>
 <ol>
@@ -3458,9 +3458,9 @@
 </ol>
 <p>显然归并排序，满足以上三条判断依据：</p>
 <ol>
-<li>递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）；</li>
-<li>每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）；</li>
-<li>两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）；</li>
+<li>递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。</li>
+<li>每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。</li>
+<li>两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。</li>
 </ol>
 <h2 id="1212">12.1.2. &nbsp; 通过分治提升效率<a class="headerlink" href="#1212" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>分治不仅可以有效地解决算法问题，<strong>往往还可以带来算法效率的提升</strong>。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。</p>

chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html

@@ -3401,9 +3401,9 @@
 <p class="admonition-title">Question</p>
 <p>给定三根柱子，记为 <code>A</code> , <code>B</code> , <code>C</code> 。起始状态下，柱子 <code>A</code> 上套着 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个圆盘移到柱子 <code>C</code> 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：</p>
 <ol>
-<li>圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入；</li>
-<li>每次只能移动一个圆盘；</li>
-<li>小圆盘必须时刻位于大圆盘之上；</li>
+<li>圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。</li>
+<li>每次只能移动一个圆盘。</li>
+<li>小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。</li>
 </ol>
 </div>
 <p><img alt="汉诺塔问题示例" src="../hanota_problem.assets/hanota_example.png" /></p>
@@ -3424,9 +3424,9 @@
 </div>
 <p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> ，即当有两个圆盘时，<strong>由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 <code>B</code> 来完成移动</strong>，包括三步：</p>
 <ol>
-<li>先将上面的小圆盘从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> ；</li>
-<li>再将大圆盘从 <code>A</code> 移至 <code>C</code> ；</li>
-<li>最后将小圆盘从 <code>B</code> 移至 <code>C</code> ；</li>
+<li>先将上面的小圆盘从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> 。</li>
+<li>再将大圆盘从 <code>A</code> 移至 <code>C</code> 。</li>
+<li>最后将小圆盘从 <code>B</code> 移至 <code>C</code> 。</li>
 </ol>
 <p>解决问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的过程可总结为：<strong>将两个圆盘借助 <code>B</code> 从 <code>A</code> 移至 <code>C</code></strong> 。其中，<code>C</code> 称为目标柱、<code>B</code> 称为缓冲柱。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:4"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_2_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_2_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_2_4">&lt;4&gt;</label></div>
@@ -3448,9 +3448,9 @@
 <h3 id="_2">子问题分解<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>对于问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 的解，因此可从分治角度思考，<strong>将 <code>A</code> 顶部的两个圆盘看做一个整体</strong>，执行以下步骤：</p>
 <ol>
-<li>令 <code>B</code> 为目标柱、<code>C</code> 为缓冲柱，将两个圆盘从 <code>A</code> 移动至 <code>B</code> ；</li>
-<li>将 <code>A</code> 中剩余的一个圆盘从 <code>A</code> 直接移动至 <code>C</code> ；</li>
-<li>令 <code>C</code> 为目标柱、<code>A</code> 为缓冲柱，将两个圆盘从 <code>B</code> 移动至 <code>C</code> ；</li>
+<li>令 <code>B</code> 为目标柱、<code>C</code> 为缓冲柱，将两个圆盘从 <code>A</code> 移动至 <code>B</code> 。</li>
+<li>将 <code>A</code> 中剩余的一个圆盘从 <code>A</code> 直接移动至 <code>C</code> 。</li>
+<li>令 <code>C</code> 为目标柱、<code>A</code> 为缓冲柱，将两个圆盘从 <code>B</code> 移动至 <code>C</code> 。</li>
 </ol>
 <p>这样三个圆盘就被顺利地从 <code>A</code> 移动至 <code>C</code> 了。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:4"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_3_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_3_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_3_4">&lt;4&gt;</label></div>
@@ -3472,9 +3472,9 @@
 <p>本质上看，<strong>我们将问题 <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> 和子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span></strong> 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，且解是可以合并的。</p>
 <p>至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：将原问题 <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> 划分为两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> 和一个子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。子问题的解决顺序为：</p>
 <ol>
-<li>将 <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> 个圆盘借助 <code>C</code> 从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> ；</li>
-<li>将剩余 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 个圆盘从 <code>A</code> 直接移至 <code>C</code> ；</li>
-<li>将 <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> 个圆盘借助 <code>A</code> 从 <code>B</code> 移至 <code>C</code> ；</li>
+<li>将 <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> 个圆盘借助 <code>C</code> 从 <code>A</code> 移至 <code>B</code> 。</li>
+<li>将剩余 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 个圆盘从 <code>A</code> 直接移至 <code>C</code> 。</li>
+<li>将 <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> 个圆盘借助 <code>A</code> 从 <code>B</code> 移至 <code>C</code> 。</li>
 </ol>
 <p>对于这两个子问题 <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> ，<strong>可以通过相同的方式进行递归划分</strong>，直至达到最小子问题 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 。而 <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> 的解是已知的，只需一次移动操作即可。</p>
 <p><img alt="汉诺塔问题的分治策略" src="../hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png" /></p>