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chapter_sorting/bucket_sort.md

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     }
     ```
 
-!!! question "桶排序的适用场景是什么？"
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-    桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。
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 ## 11.8.2   算法特性
 
+桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。
+
 - **时间复杂度 $O(n + k)$** ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 $\frac{n}{k}$ 。假设排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，则排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 $O(n + k)$ 时间。
 - **自适应排序**：在最坏情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 $O(n^2)$ 时间。
 - **空间复杂度 $O(n + k)$、非原地排序**：需要借助 $k$ 个桶和总共 $n$ 个元素的额外空间。

chapter_sorting/merge_sort.md

@@ -15,7 +15,7 @@ comments: true
 
 ## 11.6.1   算法流程
 
-如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组。
+如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。
 
 1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）。
 2. 递归执行步骤 `1.` ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分。

chapter_sorting/summary.md

@@ -4,6 +4,8 @@ comments: true
 
 # 11.11   小结
 
+### 1.   重点回顾
+
 - 冒泡排序通过交换相邻元素来实现排序。通过添加一个标志位来实现提前返回，我们可以将冒泡排序的最佳时间复杂度优化到 $O(n)$ 。
 - 插入排序每轮将未排序区间内的元素插入到已排序区间的正确位置，从而完成排序。虽然插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，但由于单元操作相对较少，它在小数据量的排序任务中非常受欢迎。
 - 快速排序基于哨兵划分操作实现排序。在哨兵划分中，有可能每次都选取到最差的基准数，导致时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。引入中位数基准数或随机基准数可以降低这种劣化的概率。尾递归方法可以有效地减少递归深度，将空间复杂度优化到 $O(\log n)$ 。
@@ -18,7 +20,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> 图 11-19 &nbsp; 排序算法对比 </p>
 
-## 11.11.1 &nbsp; Q & A
+### 2. &nbsp; Q & A
 
 !!! question "排序算法稳定性在什么情况下是必须的？"