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docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md
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@@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
!!! question
根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n \times n$ 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。
根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与同处一行、一列或一条斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n \times n$ 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。
如图 13-15 所示，当 $n = 4$ 时，共可以找到两个解。从回溯算法的角度看，$n \times n$ 大小的棋盘共有 $n^2$ 个格子，给出了所有的选择 `choices` 。在逐个放置皇后的过程中，棋盘状态在不断地变化，每个时刻的棋盘就是状态 `state` 。
@@ -26,13 +26,13 @@ comments: true
也就是说，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。
如图 13-17 所示，为 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制，图 13-17 仅展开了第一行的其中一个搜索分支，并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。
图 13-17 所示为 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制，图 13-17 仅展开了第一行的其中一个搜索分支，并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。
![逐行放置策略](n_queens_problem.assets/n_queens_placing.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 图 13-17 &nbsp; 逐行放置策略 </p>
本质上看，**逐行放置策略起到了剪枝的作用**，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
从本质上看，**逐行放置策略起到了剪枝的作用**，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
### 2. &nbsp; 列与对角线剪枝
@@ -40,7 +40,7 @@ comments: true
那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 $(row, col)$ ，选定矩阵中的某条主对角线，我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等，**即对角线上所有格子的 $row - col$ 为恒定值**。
也就是说，如果两个格子满足 $row_1 - col_1 = row_2 - col_2$ ，则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律，我们可以借助图 13-18 所示的数组 `diags1` ，记录每条主对角线上是否有皇后。
也就是说，如果两个格子满足 $row_1 - col_1 = row_2 - col_2$ ，则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律，我们可以借助图 13-18 所示的数组 `diags1` 记录每条主对角线上是否有皇后。
同理，**次对角线上的所有格子的 $row + col$ 是恒定值**。我们同样也可以借助数组 `diags2` 来处理次对角线约束。
@@ -74,7 +74,7 @@ comments: true
# 计算该格子对应的主对角线和副对角线
diag1 = row - col + n - 1
diag2 = row + col
# 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
# 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if not cols[col] and not diags1[diag1] and not diags2[diag2]:
# 尝试：将皇后放置在该格子
state[row][col] = "Q"
@@ -90,8 +90,8 @@ comments: true
# 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
state = [["#" for _ in range(n)] for _ in range(n)]
cols = [False] * n # 记录列是否有皇后
diags1 = [False] * (2 * n - 1) # 记录主对角线是否有皇后
diags2 = [False] * (2 * n - 1) # 记录副对角线是否有皇后
diags1 = [False] * (2 * n - 1) # 记录主对角线上是否有皇后
diags2 = [False] * (2 * n - 1) # 记录副对角线上是否有皇后
res = []
backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)
@@ -114,7 +114,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
int diag1 = row - col + n - 1;
int diag2 = row + col;
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state[row][col] = "Q";
@@ -133,8 +133,8 @@ comments: true
// 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
vector<vector<string>> state(n, vector<string>(n, "#"));
vector<bool> cols(n, false); // 记录列是否有皇后
vector<bool> diags1(2 * n - 1, false); // 记录主对角线是否有皇后
vector<bool> diags2(2 * n - 1, false); // 记录副对角线是否有皇后
vector<bool> diags1(2 * n - 1, false); // 记录主对角线上是否有皇后
vector<bool> diags2(2 * n - 1, false); // 记录副对角线上是否有皇后
vector<vector<vector<string>>> res;
backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
@@ -163,7 +163,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
int diag1 = row - col + n - 1;
int diag2 = row + col;
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state.get(row).set(col, "Q");
@@ -189,8 +189,8 @@ comments: true
state.add(row);
}
boolean[] cols = new boolean[n]; // 记录列是否有皇后
boolean[] diags1 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录主对角线是否有皇后
boolean[] diags2 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录副对角线是否有皇后
boolean[] diags1 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录主对角线上是否有皇后
boolean[] diags2 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录副对角线上是否有皇后
List<List<List<String>>> res = new ArrayList<>();
backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
@@ -219,7 +219,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
int diag1 = row - col + n - 1;
int diag2 = row + col;
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state[row][col] = "Q";
@@ -245,8 +245,8 @@ comments: true
state.Add(row);
}
bool[] cols = new bool[n]; // 记录列是否有皇后
bool[] diags1 = new bool[2 * n - 1]; // 记录主对角线是否有皇后
bool[] diags2 = new bool[2 * n - 1]; // 记录副对角线是否有皇后
bool[] diags1 = new bool[2 * n - 1]; // 记录主对角线上是否有皇后
bool[] diags2 = new bool[2 * n - 1]; // 记录副对角线上是否有皇后
List<List<List<string>>> res = [];
Backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
@@ -275,7 +275,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
diag1 := row - col + n - 1
diag2 := row + col
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if !(*cols)[col] && !(*diags1)[diag1] && !(*diags2)[diag2] {
// 尝试：将皇后放置在该格子
(*state)[row][col] = "Q"
@@ -306,7 +306,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
diag1 := row - col + n - 1
diag2 := row + col
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if !(*cols)[col] && !(*diags1)[diag1] && !(*diags2)[diag2] {
// 尝试：将皇后放置在该格子
(*state)[row][col] = "Q"
@@ -355,7 +355,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
let diag1 = row - col + n - 1
let diag2 = row + col
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state[row][col] = "Q"
@@ -378,8 +378,8 @@ comments: true
// 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
var state = Array(repeating: Array(repeating: "#", count: n), count: n)
var cols = Array(repeating: false, count: n) // 记录列是否有皇后
var diags1 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 记录主对角线是否有皇后
var diags2 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 记录副对角线是否有皇后
var diags1 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 记录主对角线上是否有皇后
var diags2 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 记录副对角线上是否有皇后
var res: [[[String]]] = []
backtrack(row: 0, n: n, state: &state, res: &res, cols: &cols, diags1: &diags1, diags2: &diags2)
@@ -403,7 +403,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
const diag1 = row - col + n - 1;
const diag2 = row + col;
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state[row][col] = 'Q';
@@ -422,8 +422,8 @@ comments: true
// 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
const state = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill('#'));
const cols = Array(n).fill(false); // 记录列是否有皇后
const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录主对角线是否有皇后
const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录副对角线是否有皇后
const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录主对角线上是否有皇后
const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录副对角线上是否有皇后
const res = [];
backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
@@ -454,7 +454,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
const diag1 = row - col + n - 1;
const diag2 = row + col;
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state[row][col] = 'Q';
@@ -473,8 +473,8 @@ comments: true
// 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
const state = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill('#'));
const cols = Array(n).fill(false); // 记录列是否有皇后
const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录主对角线是否有皇后
const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录副对角线是否有皇后
const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录主对角线上是否有皇后
const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录副对角线上是否有皇后
const res: string[][][] = [];
backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
@@ -509,7 +509,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
int diag1 = row - col + n - 1;
int diag2 = row + col;
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state[row][col] = "Q";
@@ -532,8 +532,8 @@ comments: true
// 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
List<List<String>> state = List.generate(n, (index) => List.filled(n, "#"));
List<bool> cols = List.filled(n, false); // 记录列是否有皇后
List<bool> diags1 = List.filled(2 * n - 1, false); // 记录主对角线是否有皇后
List<bool> diags2 = List.filled(2 * n - 1, false); // 记录副对角线是否有皇后
List<bool> diags1 = List.filled(2 * n - 1, false); // 记录主对角线上是否有皇后
List<bool> diags2 = List.filled(2 * n - 1, false); // 记录副对角线上是否有皇后
List<List<List<String>>> res = [];
backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
@@ -562,7 +562,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
let diag1 = row + n - 1 - col;
let diag2 = row + col;
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state.get_mut(row).unwrap()[col] = "Q".into();
@@ -588,8 +588,8 @@ comments: true
state.push(row);
}
let mut cols = vec![false; n]; // 记录列是否有皇后
let mut diags1 = vec![false; 2 * n - 1]; // 记录主对角线是否有皇后
let mut diags2 = vec![false; 2 * n - 1]; // 记录副对角线是否有皇后
let mut diags1 = vec![false; 2 * n - 1]; // 记录主对角线上是否有皇后
let mut diags2 = vec![false; 2 * n - 1]; // 记录副对角线上是否有皇后
let mut res: Vec<Vec<Vec<String>>> = Vec::new();
backtrack(0, n, &mut state, &mut res, &mut cols, &mut diags1, &mut diags2);
@@ -619,7 +619,7 @@ comments: true
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
int diag1 = row - col + n - 1;
int diag2 = row + col;
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线上存在皇后
if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state[row][col] = 'Q';
@@ -644,8 +644,8 @@ comments: true
state[i][n] = '\0';
}
bool cols[MAX_SIZE] = {false}; // 记录列是否有皇后
bool diags1[2 * MAX_SIZE - 1] = {false}; // 记录主对角线是否有皇后
bool diags2[2 * MAX_SIZE - 1] = {false}; // 记录副对角线是否有皇后
bool diags1[2 * MAX_SIZE - 1] = {false}; // 记录主对角线上是否有皇后
bool diags2[2 * MAX_SIZE - 1] = {false}; // 记录副对角线上是否有皇后
char ***res = (char ***)malloc(sizeof(char **) * MAX_SIZE);
*returnSize = 0;
@@ -662,6 +662,6 @@ comments: true
[class]{}-[func]{nQueens}
```
逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、$1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、$1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols`、`diags1` 和 `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。