CS_learn/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-10 04:56:36 +08:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2023-12-02 06:24:05 +08:00
parent a4a23e2488
commit a7f5434009
93 changed files with 1463 additions and 1484 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

52
docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
View File

@@ -11,7 +11,7 @@ comments: true
## 14.3.1   问题判断
总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解。然而，我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，**先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决**。
总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常适合用动态规划求解。然而，我们很难从问题描述中直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，**先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决**。
**适合用回溯解决的问题通常满足“决策树模型”**，这种问题可以使用树形结构来描述，其中每一个节点代表一个决策，每一条路径代表一个决策序列。
@@ -47,7 +47,7 @@ comments: true
**第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 $dp$ 表**
本题的每一轮的决策就是从当前格子向下或向右一步。设当前格子的行列索引为 $[i, j]$ ，则向下或向右走一步后，索引变为 $[i+1, j]$ 或 $[i, j+1]$ 。因此，状态应包含行索引和列索引两个变量，记为 $[i, j]$ 。
本题的每一轮的决策就是从当前格子向下或向右走一步。设当前格子的行列索引为 $[i, j]$ ，则向下或向右走一步后，索引变为 $[i+1, j]$ 或 $[i, j+1]$ 。因此，状态应包含行索引和列索引两个变量，记为 $[i, j]$ 。
状态 $[i, j]$ 对应的子问题为：从起始点 $[0, 0]$ 走到 $[i, j]$ 的最小路径和，解记为 $dp[i, j]$ 。
@@ -59,13 +59,13 @@ comments: true
!!! note
动态规划和回溯过程可以被描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进度的所有变量，其包含了足够的信息，能够用来推导出下一个状态。
动态规划和回溯过程可以描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进度的所有变量，其包含了足够的信息，能够用来推导出下一个状态。
每个状态都对应一个子问题，我们会定义一个 $dp$ 表来存储所有子问题的解，状态的每个独立变量都是 $dp$ 表的一个维度。本质上看，$dp$ 表是状态和子问题的解之间的映射。
每个状态都对应一个子问题，我们会定义一个 $dp$ 表来存储所有子问题的解，状态的每个独立变量都是 $dp$ 表的一个维度。从本质上看，$dp$ 表是状态和子问题的解之间的映射。
**第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
对于状态 $[i, j]$ ，它只能从上边格子 $[i-1, j]$ 和左边格子 $[i, j-1]$ 转移而来。因此最优子结构为：到达 $[i, j]$ 的最小路径和由 $[i, j-1]$ 的最小路径和与 $[i-1, j]$ 的最小路径和，这两者较小的那一个决定。
对于状态 $[i, j]$ ，它只能从上边格子 $[i-1, j]$ 和左边格子 $[i, j-1]$ 转移而来。因此最优子结构为：到达 $[i, j]$ 的最小路径和由 $[i, j-1]$ 的最小路径和与 $[i-1, j]$ 的最小路径和中较小的那一个决定。
根据以上分析，可推出图 14-12 所示的状态转移方程：
@@ -85,9 +85,9 @@ $$
**第三步：确定边界条件和状态转移顺序**
在本题中，首行的状态只能从其左边的状态得来，首列的状态只能从其上边的状态得来，因此首行 $i = 0$ 和首列 $j = 0$ 是边界条件。
在本题中，处在首行的状态只能从其左边的状态得来，处在首列的状态只能从其上边的状态得来，因此首行 $i = 0$ 和首列 $j = 0$ 是边界条件。
如图 14-13 所示，由于每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。
如图 14-13 所示，由于每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行，内循环遍历各列。
![边界条件与状态转移顺序](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step3.png){ class="animation-figure" }
@@ -110,6 +110,8 @@ $$
- **终止条件**：当 $i = 0$ 且 $j = 0$ 时，返回代价 $grid[0, 0]$ 。
- **剪枝**：当 $i < 0$ 时或 $j < 0$ 时索引越界，此时返回代价 $+\infty$ ，代表不可行。
实现代码如下：
=== "Python"
```python title="min_path_sum.py"
@@ -366,17 +368,17 @@ $$
图 14-14 给出了以 $dp[2, 1]$ 为根节点的递归树，其中包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 `grid` 的尺寸变大而急剧增多。
本质上看，造成重叠子问题的原因为：**存在多条路径可以从左上角到达某一单元格**。
从本质上看，造成重叠子问题的原因为：**存在多条路径可以从左上角到达某一单元格**。
![暴力搜索递归树](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 图 14-14 &nbsp; 暴力搜索递归树 </p>
每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 $m + n - 2$ 步，所以最差时间复杂度为 $O(2^{m + n})$ 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。
每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 $m + n - 2$ 步，所以最差时间复杂度为 $O(2^{m + n})$ 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择，因此实际的路径数量会少一些。
### 2. &nbsp; 方法二：记忆化搜索
我们引入一个和网格 `grid` 相同尺寸的记忆列表 `mem` ，用于记录各个子问题的解，并将重叠子问题进行剪枝。
我们引入一个和网格 `grid` 相同尺寸的记忆列表 `mem` ，用于记录各个子问题的解，并将重叠子问题进行剪枝：
=== "Python"
@@ -703,7 +705,7 @@ $$
### 3. &nbsp; 方法三：动态规划
基于迭代实现动态规划解法。
基于迭代实现动态规划解法，代码如下所示：
=== "Python"
@@ -720,7 +722,7 @@ $$
# 状态转移：首列
for i in range(1, n):
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
# 状态转移：其余行列
# 状态转移：其余行和列
for i in range(1, n):
for j in range(1, m):
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
@@ -744,7 +746,7 @@ $$
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
@@ -771,7 +773,7 @@ $$
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
@@ -798,7 +800,7 @@ $$
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i, 0] = dp[i - 1, 0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i, j] = Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]) + grid[i][j];
@@ -828,7 +830,7 @@ $$
for i := 1; i < n; i++ {
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for i := 1; i < n; i++ {
for j := 1; j < m; j++ {
dp[i][j] = int(math.Min(float64(dp[i][j-1]), float64(dp[i-1][j]))) + grid[i][j]
@@ -856,7 +858,7 @@ $$
for i in stride(from: 1, to: n, by: 1) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for i in stride(from: 1, to: n, by: 1) {
for j in stride(from: 1, to: m, by: 1) {
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
@@ -886,7 +888,7 @@ $$
for (let i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for (let i = 1; i < n; i++) {
for (let j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
@@ -916,7 +918,7 @@ $$
for (let i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for (let i = 1; i < n; i++) {
for (let j: number = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
@@ -943,7 +945,7 @@ $$
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
@@ -970,7 +972,7 @@ $$
for i in 1..n {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for i in 1..n {
for j in 1..m {
dp[i][j] = std::cmp::min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
@@ -999,7 +1001,7 @@ $$
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = myMin(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
@@ -1032,7 +1034,7 @@ $$
for (1..n) |i| {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for (1..n) |i| {
for (1..m) |j| {
dp[i][j] = @min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
@@ -1088,7 +1090,7 @@ $$
由于每个格子只与其左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 $dp$ 表。
请注意，因为数组 `dp` 只能表示一行的状态，所以我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。
请注意，因为数组 `dp` 只能表示一行的状态，所以我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行时更新它：
=== "Python"
@@ -1203,7 +1205,7 @@ $$
for j := 1; j < m; j++ {
dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j]
}
// 状态转移：其余行列
// 状态转移：其余行和列
for i := 1; i < n; i++ {
// 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0]