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docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md

@@ -4,13 +4,13 @@ comments: true
 
 # 14.6   编辑距离问题
 
-编辑距离，也被称为 Levenshtein 距离，指两个字符串之间互相转换的最小修改次数，通常用于在信息检索和自然语言处理中度量两个序列的相似度。
+编辑距离，也称 Levenshtein 距离，指两个字符串之间互相转换的最少修改次数，通常用于在信息检索和自然语言处理中度量两个序列的相似度。
 
 !!! question
 
     输入两个字符串 $s$ 和 $t$ ，返回将 $s$ 转换为 $t$ 所需的最少编辑步数。
     
-    你可以在一个字符串中进行三种编辑操作：插入一个字符、删除一个字符、替换字符为任意一个字符。
+    你可以在一个字符串中进行三种编辑操作：插入一个字符、删除一个字符、将字符替换为任意一个字符。
 
 如图 14-27 所示，将 `kitten` 转换为 `sitting` 需要编辑 3 步，包括 2 次替换操作与 1 次添加操作；将 `hello` 转换为 `algo` 需要 3 步，包括 2 次替换操作和 1 次删除操作。
 
@@ -39,7 +39,7 @@ comments: true
 - 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 相同，我们可以跳过它们，直接考虑 $s[n-2]$ 和 $t[m-2]$ 。
 - 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 不同，我们需要对 $s$ 进行一次编辑（插入、删除、替换），使得两字符串尾部的字符相同，从而可以跳过它们，考虑规模更小的问题。
 
-也就是说，我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 $s$ 和 $t$ 中考虑的第 $i$ 和 $j$ 个字符，记为 $[i, j]$ 。
+也就是说，我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 $s$ 和 $t$ 中考虑的第 $i$ 和第 $j$ 个字符，记为 $[i, j]$ 。
 
 状态 $[i, j]$ 对应的子问题：**将 $s$ 的前 $i$ 个字符更改为 $t$ 的前 $j$ 个字符所需的最少编辑步数**。
 
@@ -71,7 +71,7 @@ $$
 
 **第三步：确定边界条件和状态转移顺序**
 
-当两字符串都为空时，编辑步数为 $0$ ，即 $dp[0, 0] = 0$ 。当 $s$ 为空但 $t$ 不为空时，最少编辑步数等于 $t$ 的长度，即首行 $dp[0, j] = j$ 。当 $s$ 不为空但 $t$ 为空时，等于 $s$ 的长度，即首列 $dp[i, 0] = i$ 。
+当两字符串都为空时，编辑步数为 $0$ ，即 $dp[0, 0] = 0$ 。当 $s$ 为空但 $t$ 不为空时，最少编辑步数等于 $t$ 的长度，即首行 $dp[0, j] = j$ 。当 $s$ 不为空但 $t$ 为空时，最少编辑步数等于 $s$ 的长度，即首列 $dp[i, 0] = i$ 。
 
 观察状态转移方程，解 $dp[i, j]$ 依赖左方、上方、左上方的解，因此通过两层循环正序遍历整个 $dp$ 表即可。
 
@@ -89,7 +89,7 @@ $$
             dp[i][0] = i
         for j in range(1, m + 1):
             dp[0][j] = j
-        # 状态转移：其余行列
+        # 状态转移：其余行和列
         for i in range(1, n + 1):
             for j in range(1, m + 1):
                 if s[i - 1] == t[j - 1]:
@@ -115,7 +115,7 @@ $$
         for (int j = 1; j <= m; j++) {
             dp[0][j] = j;
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for (int i = 1; i <= n; i++) {
             for (int j = 1; j <= m; j++) {
                 if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
@@ -145,7 +145,7 @@ $$
         for (int j = 1; j <= m; j++) {
             dp[0][j] = j;
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for (int i = 1; i <= n; i++) {
             for (int j = 1; j <= m; j++) {
                 if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
@@ -175,7 +175,7 @@ $$
         for (int j = 1; j <= m; j++) {
             dp[0, j] = j;
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for (int i = 1; i <= n; i++) {
             for (int j = 1; j <= m; j++) {
                 if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
@@ -209,7 +209,7 @@ $$
         for j := 1; j <= m; j++ {
             dp[0][j] = j
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for i := 1; i <= n; i++ {
             for j := 1; j <= m; j++ {
                 if s[i-1] == t[j-1] {
@@ -240,7 +240,7 @@ $$
         for j in stride(from: 1, through: m, by: 1) {
             dp[0][j] = j
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for i in stride(from: 1, through: n, by: 1) {
             for j in stride(from: 1, through: m, by: 1) {
                 if s.utf8CString[i - 1] == t.utf8CString[j - 1] {
@@ -271,7 +271,7 @@ $$
         for (let j = 1; j <= m; j++) {
             dp[0][j] = j;
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for (let i = 1; i <= n; i++) {
             for (let j = 1; j <= m; j++) {
                 if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
@@ -305,7 +305,7 @@ $$
         for (let j = 1; j <= m; j++) {
             dp[0][j] = j;
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for (let i = 1; i <= n; i++) {
             for (let j = 1; j <= m; j++) {
                 if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
@@ -336,7 +336,7 @@ $$
       for (int j = 1; j <= m; j++) {
         dp[0][j] = j;
       }
-      // 状态转移：其余行列
+      // 状态转移：其余行和列
       for (int i = 1; i <= n; i++) {
         for (int j = 1; j <= m; j++) {
           if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
@@ -366,7 +366,7 @@ $$
         for j in 1..m {
             dp[0][j] = j as i32;
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for i in 1..=n {
             for j in 1..=m {
                 if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
@@ -398,7 +398,7 @@ $$
         for (int j = 1; j <= m; j++) {
             dp[0][j] = j;
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for (int i = 1; i <= n; i++) {
             for (int j = 1; j <= m; j++) {
                 if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
@@ -434,7 +434,7 @@ $$
         for (1..m + 1) |j| {
             dp[0][j] = @intCast(j);
         }
-        // 状态转移：其余行列
+        // 状态转移：其余行和列
         for (1..n + 1) |i| {
             for (1..m + 1) |j| {
                 if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
@@ -450,7 +450,7 @@ $$
     }
     ```
 
-如图 14-30 所示，编辑距离问题的状态转移过程与背包问题非常类似，都可以看作是填写一个二维网格的过程。
+如图 14-30 所示，编辑距离问题的状态转移过程与背包问题非常类似，都可以看作填写一个二维网格的过程。
 
 === "<1>"
     ![编辑距离的动态规划过程](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step1.png){ class="animation-figure" }
@@ -501,9 +501,9 @@ $$
 
 ### 3. &nbsp; 空间优化
 
-由于 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$、左方 $dp[i, j-1]$、左上方状态 $dp[i-1, j-1]$ 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ，倒序遍历无法提前构建 $dp[i, j-1]$ ，因此两种遍历顺序都不可取。
+由于 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$、左方 $dp[i, j-1]$、左上方 $dp[i-1, j-1]$ 转移而来的，而正序遍历会丢失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ，倒序遍历无法提前构建 $dp[i, j-1]$ ，因此两种遍历顺序都不可取。
 
-为此，我们可以使用一个变量 `leftup` 来暂存左上方的解 $dp[i-1, j-1]$ ，从而只需考虑左方和上方的解。此时的情况与完全背包问题相同，可使用正序遍历。
+为此，我们可以使用一个变量 `leftup` 来暂存左上方的解 $dp[i-1, j-1]$ ，从而只需考虑左方和上方的解。此时的情况与完全背包问题相同，可使用正序遍历。代码如下所示：
 
 === "Python"