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2026-04-24 10:33:34 +08:00 · 2023-12-02 06:24:05 +08:00
parent a4a23e2488
commit a7f5434009
93 changed files with 1463 additions and 1484 deletions
--- a/docs/chapter_heap/build_heap.md
+++ b/docs/chapter_heap/build_heap.md
@@ -10,7 +10,7 @@ comments: true

 我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

-每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”地构建的。
+每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。

 设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。

@@ -21,11 +21,11 @@ comments: true
 1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
 2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

-**每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆**。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”地被构建的。
+**每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆**。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。

 之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。

-值得说明的是，**叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无需堆化**。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。
+值得说明的是，**叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无须堆化**。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。

 === "Python"

@@ -211,13 +211,13 @@ comments: true

 将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质**。

-接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ ，高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
+接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ 、高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。

 ![完美二叉树的各层节点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png){ class="animation-figure" }

 <p align="center"> 图 8-5 &nbsp; 完美二叉树的各层节点数量 </p>

-如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
+如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以对各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。

 $$
 T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
--- a/docs/chapter_heap/heap.md
+++ b/docs/chapter_heap/heap.md
@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true

 # 8.1 &nbsp; 堆

-「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为图 8-1 所示的两种类型。
+「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如图 8-1 所示。

 - 「大顶堆 max heap」：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。
 - 「小顶堆 min heap」：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
@@ -17,13 +17,13 @@ comments: true

 - 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
 - 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。
+- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值分别是最大（最小）的。

 ## 8.1.1 &nbsp; 堆常用操作

 需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 priority queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

-实际上，**堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一使用“堆“来命名。
+实际上，**堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。

 堆的常用操作见表 8-1 ，方法名需要根据编程语言来确定。

@@ -43,9 +43,7 @@ comments: true

 在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。

-!!! tip
-
-    类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过修改 Comparator 来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。
+类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 `flag` 或修改 `Comparator` 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：

 === "Python"

@@ -361,17 +359,17 @@ comments: true

 ### 1. &nbsp; 堆的存储与表示

-我们在二叉树章节中学习到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**我们将采用数组来存储堆**。
+“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**因此我们将采用数组来存储堆**。

 当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现**。

-如图 8-2 所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
+如图 8-2 所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

 ![堆的表示与存储](heap.assets/representation_of_heap.png){ class="animation-figure" }

 <p align="center"> 图 8-2 &nbsp; 堆的表示与存储 </p>

-我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。
+我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：

 === "Python"

@@ -404,7 +402,7 @@ comments: true

    /* 获取父节点索引 */
    int parent(int i) {
-        return (i - 1) / 2; // 向下取整
+        return (i - 1) / 2; // 向下整除
    }
    ```

@@ -602,7 +600,7 @@ comments: true

 ### 2. &nbsp; 访问堆顶元素

-堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
+堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：

 === "Python"

@@ -713,7 +711,7 @@ comments: true

 ### 3. &nbsp; 元素入堆

-给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 heapify」。
+给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，**因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 heapify」。

 考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。如图 8-3 所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

@@ -746,7 +744,7 @@ comments: true

 <p align="center"> 图 8-3 &nbsp; 元素入堆步骤 </p>

-设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
+设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。代码如下所示：

 === "Python"

@@ -1086,10 +1084,10 @@ comments: true

 ### 4. &nbsp; 堆顶元素出堆

-堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。
+堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

-1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。
-2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。
+1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
+2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
 3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**。

 如图 8-4 所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
@@ -1126,7 +1124,7 @@ comments: true

 <p align="center"> 图 8-4 &nbsp; 堆顶元素出堆步骤 </p>

-与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。
+与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。代码如下所示：

 === "Python"

@@ -1136,7 +1134,7 @@ comments: true
        # 判空处理
        if self.is_empty():
            raise IndexError("堆为空")
-        # 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        # 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        self.swap(0, self.size() - 1)
        # 删除节点
        val = self.max_heap.pop()
@@ -1172,7 +1170,7 @@ comments: true
        if (isEmpty()) {
            throw out_of_range("堆为空");
        }
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
        // 删除节点
        maxHeap.pop_back();
@@ -1207,7 +1205,7 @@ comments: true
        // 判空处理
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        swap(0, size() - 1);
        // 删除节点
        int val = maxHeap.remove(size() - 1);
@@ -1245,7 +1243,7 @@ comments: true
        // 判空处理
        if (IsEmpty())
            throw new IndexOutOfRangeException();
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        Swap(0, Size() - 1);
        // 删除节点
        int val = maxHeap.Last();
@@ -1285,7 +1283,7 @@ comments: true
            fmt.Println("error")
            return nil
        }
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        h.swap(0, h.size()-1)
        // 删除节点
        val := h.data[len(h.data)-1]
@@ -1329,7 +1327,7 @@ comments: true
        if isEmpty() {
            fatalError("堆为空")
        }
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        swap(i: 0, j: size() - 1)
        // 删除节点
        let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
@@ -1372,7 +1370,7 @@ comments: true
    pop() {
        // 判空处理
        if (this.isEmpty()) throw new Error('堆为空');
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        this.#swap(0, this.size() - 1);
        // 删除节点
        const val = this.#maxHeap.pop();
@@ -1408,7 +1406,7 @@ comments: true
    pop(): number {
        // 判空处理
        if (this.isEmpty()) throw new RangeError('Heap is empty.');
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        this.swap(0, this.size() - 1);
        // 删除节点
        const val = this.maxHeap.pop();
@@ -1444,7 +1442,7 @@ comments: true
    int pop() {
      // 判空处理
      if (isEmpty()) throw Exception('堆为空');
-      // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+      // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
      _swap(0, size() - 1);
      // 删除节点
      int val = _maxHeap.removeLast();
@@ -1482,7 +1480,7 @@ comments: true
        if self.is_empty() {
            panic!("index out of bounds");
        }
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        self.swap(0, self.size() - 1);
        // 删除节点
        let val = self.max_heap.remove(self.size() - 1);
@@ -1525,7 +1523,7 @@ comments: true
            printf("heap is empty!");
            return INT_MAX;
        }
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        swap(maxHeap, 0, size(maxHeap) - 1);
        // 删除节点
        int val = maxHeap->data[maxHeap->size - 1];
@@ -1569,7 +1567,7 @@ comments: true
    fn pop(self: *Self) !T {
        // 判断处理
        if (self.isEmpty()) unreachable;
-        // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
+        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        try self.swap(0, self.size() - 1);
        // 删除节点
        var val = self.max_heap.?.pop();
@@ -1602,5 +1600,5 @@ comments: true
 ## 8.1.3 &nbsp; 堆常见应用

 - **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
- **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见后续的堆排序章节。
+- **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
 - **获取最大的 $k$ 个元素**：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。
--- a/docs/chapter_heap/index.md
+++ b/docs/chapter_heap/index.md
@@ -13,9 +13,9 @@ icon: material/family-tree

 !!! abstract

-    堆就像是山川的峰峦，它们层叠起伏、形态各异。
+    堆就像是山岳峰峦，层叠起伏、形态各异。
    
-    每一座山峰都有其高低之分，而最高的山峰总是最先映入眼帘。
+    座座山峰高低错落，而最高的山峰总是最先映入眼帘。

 ## 本章内容

--- a/docs/chapter_heap/summary.md
+++ b/docs/chapter_heap/summary.md
@@ -18,4 +18,4 @@ comments: true

 !!! question "数据结构的“堆”与内存管理的“堆”是同一个概念吗？"

-    两者不是同一个概念，只是碰巧都叫堆。计算机系统内存中的堆是动态内存分配的一部分，程序在运行时可以使用它来存储数据。程序可以请求一定量的堆内存，用于存储如对象和数组等复杂结构。当这些数据不再需要时，程序需要释放这些内存，以防止内存泄露。相较于栈内存，堆内存的管理和使用需要更谨慎，不恰当的使用可能会导致内存泄露和野指针等问题。
+    两者不是同一个概念，只是碰巧都叫堆。计算机系统内存中的堆是动态内存分配的一部分，程序在运行时可以使用它来存储数据。程序可以请求一定量的堆内存，用于存储如对象和数组等复杂结构。当这些数据不再需要时，程序需要释放这些内存，以防止内存泄漏。相较于栈内存，堆内存的管理和使用需要更谨慎，使用不当可能会导致内存泄漏和野指针等问题。
--- a/docs/chapter_heap/top_k.md
+++ b/docs/chapter_heap/top_k.md
@@ -6,7 +6,7 @@ comments: true

 !!! question

-    给定一个长度为 $n$ 无序数组 `nums` ，请返回数组中前 $k$ 大的元素。
+    给定一个长度为 $n$ 的无序数组 `nums` ，请返回数组中前 $k$ 大的元素。

 对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

@@ -28,7 +28,7 @@ comments: true

 如图 8-7 所示，我们可以先对数组 `nums` 进行排序，再返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。

-显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。
+显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。

 ![排序寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_sorting.png){ class="animation-figure" }

@@ -72,9 +72,7 @@ comments: true

 <p align="center"> 图 8-8 &nbsp; 基于堆寻找最大的 k 个元素 </p>

-总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。
-
-另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 $k$ 个元素的动态更新。
+示例代码如下：

 === "Python"

@@ -418,3 +416,7 @@ comments: true
    ```zig title="top_k.zig"
    [class]{}-[func]{topKHeap}
    ```
+
+总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。
+
+另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 $k$ 个元素的动态更新。