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60
docs/chapter_searching/binary_search.md
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@@ -4,11 +4,11 @@ comments: true
# 10.1   二分查找
「二分查找 binary search」是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
「二分查找 binary search」是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列，数组不包含重复元素。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 $-1$ 。
给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 $-1$ 。示例如图 10-1 所示。
![二分查找示例数据](binary_search.assets/binary_search_example.png){ class="animation-figure" }
@@ -51,6 +51,8 @@ comments: true
值得注意的是，由于 $i$ 和 $j$ 都是 `int` 类型，**因此 $i + j$ 可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
代码如下所示：
=== "Python"
```python title="binary_search.py"
@@ -338,16 +340,16 @@ comments: true
## 10.1.1   区间表示方法
除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。
除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。
我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。
我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：
=== "Python"
```python title="binary_search.py"
def binary_search_lcro(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找（左闭右开）"""
# 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
"""二分查找（左闭右开区间）"""
# 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
i, j = 0, len(nums)
# 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while i < j:
@@ -364,9 +366,9 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="binary_search.cpp"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(vector<int> &nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.size();
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -386,9 +388,9 @@ comments: true
=== "Java"
```java title="binary_search.java"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -408,9 +410,9 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="binary_search.cs"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int BinarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.Length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -430,9 +432,9 @@ comments: true
=== "Go"
```go title="binary_search.go"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
func binarySearchLCRO(nums []int, target int) int {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
i, j := 0, len(nums)
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
for i < j {
@@ -453,9 +455,9 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="binary_search.swift"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
func binarySearchLCRO(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
var i = 0
var j = nums.count
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -477,9 +479,9 @@ comments: true
=== "JS"
```javascript title="binary_search.js"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
function binarySearchLCRO(nums, target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let i = 0,
j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -503,9 +505,9 @@ comments: true
=== "TS"
```typescript title="binary_search.ts"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
function binarySearchLCRO(nums: number[], target: number): number {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let i = 0,
j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -532,7 +534,7 @@ comments: true
```dart title="binary_search.dart"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(List<int> nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -556,9 +558,9 @@ comments: true
=== "Rust"
```rust title="binary_search.rs"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
fn binary_search_lcro(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let mut i = 0;
let mut j = nums.len() as i32;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -580,9 +582,9 @@ comments: true
=== "C"
```c title="binary_search.c"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(int *nums, int len, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = len;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -602,9 +604,9 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="binary_search.zig"
// 二分查找（左闭右开）
// 二分查找（左闭右开区间）
fn binarySearchLCRO(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
var i: usize = 0;
var j: usize = nums.items.len;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -625,7 +627,7 @@ comments: true
如图 10-3 所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错，**因此一般建议采用“双闭区间”的写法**。
由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 $i$ 和指针 $j$ 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，**因此一般建议采用“双闭区间”的写法**。
![两种区间定义](binary_search.assets/binary_search_ranges.png){ class="animation-figure" }
@@ -642,4 +644,4 @@ comments: true
- 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
- 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
- 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。
- 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。