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6
docs/chapter_sorting/bubble_sort.md
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@@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
「冒泡排序 bubble sort」通过连续地比较与交换相邻元素实现排序。这个过程就像气泡从底部升到顶部一样，因此得名冒泡排序。
如图 11-4 所示，冒泡过程可以利用元素交换操作来模拟：从数组最左端开始向右遍历，依次比较相邻元素大小，如果“左元素 > 右元素”就交换它俩。遍历完成后，最大的元素会被移动到数组的最右端。
如图 11-4 所示，冒泡过程可以利用元素交换操作来模拟：从数组最左端开始向右遍历，依次比较相邻元素大小，如果“左元素 > 右元素”就交换二者。遍历完成后，最大的元素会被移动到数组的最右端。
=== "<1>"
![利用元素交换操作模拟冒泡](bubble_sort.assets/bubble_operation_step1.png){ class="animation-figure" }
@@ -44,6 +44,8 @@ comments: true
<p align="center"> 图 11-5 &nbsp; 冒泡排序流程 </p>
示例代码如下：
=== "Python"
```python title="bubble_sort.py"
@@ -279,7 +281,7 @@ comments: true
我们发现，如果某轮“冒泡”中没有执行任何交换操作，说明数组已经完成排序，可直接返回结果。因此，可以增加一个标志位 `flag` 来监测这种情况，一旦出现就立即返回。
经过优化，冒泡排序的最差和平均时间复杂度仍为 $O(n^2)$ ；但当输入数组完全有序时，可达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
经过优化，冒泡排序的最差时间复杂度和平均时间复杂度仍为 $O(n^2)$ ；但当输入数组完全有序时，可达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
=== "Python"

40
docs/chapter_sorting/bucket_sort.md
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@@ -4,22 +4,24 @@ comments: true
# 11.8 &nbsp; 桶排序
前述的几种排序算法都属于“基于比较的排序算法”，它们通过比较元素间的大小来实现排序。此类排序算法的时间复杂度无法超越 $O(n \log n)$ 。接下来，我们将探讨几种“非比较排序算法”，它们的时间复杂度可以达到线性阶。
前述几种排序算法都属于“基于比较的排序算法”，它们通过比较元素间的大小来实现排序。此类排序算法的时间复杂度无法超越 $O(n \log n)$ 。接下来，我们将探讨几种“非比较排序算法”，它们的时间复杂度可以达到线性阶。
「桶排序 bucket sort」是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。
## 11.8.1 &nbsp; 算法流程
考虑一个长度为 $n$ 的数组，元素是范围 $[0, 1)$ 的浮点数。桶排序的流程如图 11-13 所示。
考虑一个长度为 $n$ 的数组，其元素是范围 $[0, 1)$ 内的浮点数。桶排序的流程如图 11-13 所示。
1. 初始化 $k$ 个桶，将 $n$ 个元素分配到 $k$ 个桶中。
2. 对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）。
3. 按照桶的从小到大的顺序，合并结果。
2. 对每个桶分别执行排序（这里采用编程语言的内置排序函数）。
3. 按照桶从小到大的顺序合并结果。
![桶排序算法流程](bucket_sort.assets/bucket_sort_overview.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 图 11-13 &nbsp; 桶排序算法流程 </p>
代码如下所示：
=== "Python"
```python title="bucket_sort.py"
@@ -30,7 +32,7 @@ comments: true
buckets = [[] for _ in range(k)]
# 1. 将数组元素分配到各个桶中
for num in nums:
# 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
# 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
i = int(num * k)
# 将 num 添加进桶 i
buckets[i].append(num)
@@ -56,7 +58,7 @@ comments: true
vector<vector<float>> buckets(k);
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (float num : nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = num * k;
// 将 num 添加进桶 bucket_idx
buckets[i].push_back(num);
@@ -89,7 +91,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (float num : nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = (int) (num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets.get(i).add(num);
@@ -122,7 +124,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
foreach (float num in nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = (int)(num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].Add(num);
@@ -155,7 +157,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for _, num := range nums {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
i := int(num * float64(k))
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i] = append(buckets[i], num)
@@ -186,7 +188,7 @@ comments: true
var buckets = (0 ..< k).map { _ in [Double]() }
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for num in nums {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
let i = Int(num * Double(k))
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].append(num)
@@ -220,7 +222,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (const num of nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
const i = Math.floor(num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
@@ -253,7 +255,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (const num of nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
const i = Math.floor(num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
@@ -284,7 +286,7 @@ comments: true
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (double _num in nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 _num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 _num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = (_num * k).toInt();
// 将 _num 添加进桶 bucket_idx
buckets[i].add(_num);
@@ -313,7 +315,7 @@ comments: true
let mut buckets = vec![vec![]; k];
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for &mut num in &mut *nums {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
let i = (num * k as f64) as usize;
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
@@ -349,7 +351,7 @@ comments: true
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (int i = 0; i < size; i++) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int bucket_idx = nums[i] * k;
int j = 0;
// 如果桶中有数据且数据小于当前值 nums[i], 要将其放到当前桶的后面，相当于 cpp 中的 push_back
@@ -397,17 +399,17 @@ comments: true
桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。
- **时间复杂度 $O(n + k)$** ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 $\frac{n}{k}$ 。假设排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，则排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 $O(n + k)$ 时间。
- **自适应排序**：在最坏情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 $O(n^2)$ 时间。
- **自适应排序**：在最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 $O(n^2)$ 时间。
- **空间复杂度 $O(n + k)$、非原地排序**：需要借助 $k$ 个桶和总共 $n$ 个元素的额外空间。
- 桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。
## 11.8.3 &nbsp; 如何实现平均分配
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 $O(n)$ ，**关键在于将元素均匀分配到各个桶中**，因为实际数据往往不是均匀分布的。例如，我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到 10 个桶中，但商品价格分布不均，低于 100 元的非常多，高于 1000 元的非常少。若将价格区间平均划分为 10 份，各个桶中的商品数量差距会非常大。
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 $O(n)$ ，**关键在于将元素均匀分配到各个桶中**，因为实际数据往往不是均匀分布的。例如，我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到 10 个桶中，但商品价格分布不均，低于 100 元的非常多，高于 1000 元的非常少。若将价格区间平均划分为 10 个，各个桶中的商品数量差距会非常大。
为实现平均分配，我们可以先设定一个大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。**分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等**。
为实现平均分配，我们可以先设定一条大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。**分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等**。
如图 11-14 所示，这种方法本质上是创建一个递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。
如图 11-14 所示，这种方法本质上是创建一棵递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。
![递归划分桶](bucket_sort.assets/scatter_in_buckets_recursively.png){ class="animation-figure" }

16
docs/chapter_sorting/counting_sort.md
View File

@@ -10,14 +10,16 @@ comments: true
先来看一个简单的例子。给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的整体流程如图 11-16 所示。
1. 遍历数组，找出数组中的最大数字，记为 $m$ ，然后创建一个长度为 $m + 1$ 的辅助数组 `counter` 。
1. 遍历数组，找出其中的最大数字，记为 $m$ ，然后创建一个长度为 $m + 1$ 的辅助数组 `counter` 。
2. **借助 `counter` 统计 `nums` 中各数字的出现次数**，其中 `counter[num]` 对应数字 `num` 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 `nums`（设当前数字为 `num`），每轮将 `counter[num]` 增加 $1$ 即可。
3. **由于 `counter` 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经被排序好了**。接下来，我们遍历 `counter` ，根据各数字的出现次数，将它们按从小到大的顺序填入 `nums` 即可。
3. **由于 `counter` 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经排序好了**。接下来，我们遍历 `counter` ，根据各数字出现次数从小到大的顺序填入 `nums` 即可。
![计数排序流程](counting_sort.assets/counting_sort_overview.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 图 11-16 &nbsp; 计数排序流程 </p>
代码如下所示：
=== "Python"
```python title="counting_sort.py"
@@ -321,11 +323,11 @@ comments: true
!!! note "计数排序与桶排序的联系"
从桶排序的角度看，我们可以将计数排序中的计数数组 `counter` 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作是将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。
从桶排序的角度看，我们可以将计数排序中的计数数组 `counter` 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。
## 11.9.2 &nbsp; 完整实现
细心的同学可能发现，**如果输入数据是对象，上述步骤 `3.` 就失效了**。假设输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。
细心的读者可能发现了，**如果输入数据是对象，上述步骤 `3.` 就失效了**。假设输入数据是商品对象，我们想按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。
那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 `counter` 的“前缀和”。顾名思义，索引 `i` 处的前缀和 `prefix[i]` 等于数组前 `i` 个元素之和：
@@ -366,7 +368,7 @@ $$
<p align="center"> 图 11-17 &nbsp; 计数排序步骤 </p>
计数排序的实现代码如下所示。
计数排序的实现代码如下所示：
=== "Python"
@@ -784,8 +786,8 @@ $$
## 11.9.4 &nbsp; 局限性
看到这里，你也许会觉得计数排序非常巧妙，仅通过统计数量就可以实现高效的排序工作。然而，使用计数排序的前置条件相对较为严格。
看到这里，你也许会觉得计数排序非常巧妙，仅通过统计数量就可以实现高效的排序。然而，使用计数排序的前置条件相对较为严格。
**计数排序只适用于非负整数**。若想要将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以被转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去即可。
**计数排序只适用于非负整数**。若想将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去。
**计数排序适用于数据量大但数据范围较小的情况**。比如，在上述示例中 $m$ 不能太大，否则会占用过多空间。而当 $n \ll m$ 时，计数排序使用 $O(m)$ 时间，可能比 $O(n \log n)$ 的排序算法还要慢。

28
docs/chapter_sorting/heap_sort.md
View File

@@ -22,11 +22,11 @@ comments: true
1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 $1$ ，已排序元素数量加 $1$ 。
3. 从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（Sift Down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
4. 循环执行第 `2.` 和 `3.` 步。循环 $n - 1$ 轮后，即可完成数组排序。
4. 循环执行第 `2.` 步和第 `3.` 步。循环 $n - 1$ 轮后，即可完成数组排序。
!!! tip
实际上，元素出堆操作中也包含第 `2.` 和 `3.` 步，只是多了一个弹出元素的步骤。
实际上，元素出堆操作中也包含第 `2.` 步和第 `3.` 步，只是多了一个弹出元素的步骤。
=== "<1>"
![堆排序步骤](heap_sort.assets/heap_sort_step1.png){ class="animation-figure" }
@@ -66,7 +66,7 @@ comments: true
<p align="center"> 图 11-12 &nbsp; 堆排序步骤 </p>
在代码实现中，我们使用了与堆章节相同的从顶至底堆化 `sift_down()` 函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 `sift_down()` 函数添加一个长度参数 $n$ ，用于指定堆的当前有效长度。
在代码实现中，我们使用了与“堆”章节相同的从顶至底堆化 `sift_down()` 函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 `sift_down()` 函数添加一个长度参数 $n$ ，用于指定堆的当前有效长度。代码如下所示：
=== "Python"
@@ -97,7 +97,7 @@ comments: true
sift_down(nums, len(nums), i)
# 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
# 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
# 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
# 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
sift_down(nums, i, 0)
@@ -136,7 +136,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (int i = nums.size() - 1; i > 0; --i) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
swap(nums[0], nums[i]);
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
siftDown(nums, i, 0);
@@ -178,7 +178,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
int tmp = nums[0];
nums[0] = nums[i];
nums[i] = tmp;
@@ -220,7 +220,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
(nums[i], nums[0]) = (nums[0], nums[i]);
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
SiftDown(nums, i, 0);
@@ -263,7 +263,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for i := len(*nums) - 1; i > 0; i-- {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
(*nums)[0], (*nums)[i] = (*nums)[i], (*nums)[0]
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
siftDown(nums, i, 0)
@@ -307,7 +307,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for i in stride(from: nums.count - 1, to: 0, by: -1) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
nums.swapAt(0, i)
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
siftDown(nums: &nums, n: i, i: 0)
@@ -350,7 +350,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
[nums[0], nums[i]] = [nums[i], nums[0]];
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
siftDown(nums, i, 0);
@@ -393,7 +393,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
[nums[0], nums[i]] = [nums[i], nums[0]];
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
siftDown(nums, i, 0);
@@ -432,7 +432,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
int tmp = nums[0];
nums[0] = nums[i];
nums[i] = tmp;
@@ -479,7 +479,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for i in (1..=nums.len() - 1).rev() {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
let tmp = nums[0];
nums[0] = nums[i];
nums[i] = tmp;
@@ -524,7 +524,7 @@ comments: true
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
int tmp = nums[0];
nums[0] = nums[i];
nums[i] = tmp;

12
docs/chapter_sorting/insertion_sort.md
View File

@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。
图 11-6 展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 `base` ，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 `base` 赋值给目标索引。
图 11-6 展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 `base` ，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后将 `base` 赋值给目标索引。
![单次插入操作](insertion_sort.assets/insertion_operation.png){ class="animation-figure" }
@@ -27,6 +27,8 @@ comments: true
<p align="center"> 图 11-7 &nbsp; 插入排序流程 </p>
示例代码如下：
=== "Python"
```python title="insertion_sort.py"
@@ -250,17 +252,17 @@ comments: true
## 11.4.2 &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n^2)$、自适应排序**：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，求和得到 $(n - 1) n / 2$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
- **时间复杂度 $O(n^2)$、自适应排序**：在最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，求和得到 $(n - 1) n / 2$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
- **空间复杂度 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
- **稳定排序**：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。
## 11.4.3 &nbsp; 插入排序优势
插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。尽管插入排序的时间复杂度相比快速排序更高，**但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快**。
插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。尽管插入排序的时间复杂度更高，**但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快**。
这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 $O(n \log n)$ 的算法属于基于分治的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，$n^2$ 和 $n \log n$ 的数值比较接近，复杂度不占主导作用；每轮中的单元操作数量起到决定性因素。
这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 $O(n \log n)$ 的算法属于基于分治策略的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，$n^2$ 和 $n \log n$ 的数值比较接近，复杂度不占主导地位；每轮中的单元操作数量起到决定性作用。
实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。
实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治策略的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。
虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 $O(n^2)$ ，但在实际情况中，**插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序**，主要有以下原因。

12
docs/chapter_sorting/merge_sort.md
View File

@@ -18,7 +18,7 @@ comments: true
如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。
1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）。
2. 递归执行步骤 `1.` ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分。
2. 递归执行步骤 `1.` ，直至子数组区间长度为 1 时终止。
“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。
@@ -59,6 +59,8 @@ comments: true
- **后序遍历**：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
- **归并排序**：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。
归并排序的实现如以下代码所示。请注意，`nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，而 `tmp` 的对应区间为 `[0, right - left]` 。
=== "Python"
```python title="merge_sort.py"
@@ -631,19 +633,17 @@ comments: true
}
```
值得注意的是，`nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，而 `tmp` 的对应区间为 `[0, right - left]` 。
## 11.6.2 &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$、非自适应排序**：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
- **空间复杂度 $O(n)$、非原地排序**：递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 $O(n)$ 大小的额外空间。
- **稳定排序**：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。
## 11.6.3 &nbsp; 链表排序 *
## 11.6.3 &nbsp; 链表排序
对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，**可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 $O(1)$** 。
- **划分阶段**：可以通过使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
- **划分阶段**：可以使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
- **合并阶段**：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。
具体实现细节比较复杂，有兴趣的同学可以查阅相关资料进行学习。
具体实现细节比较复杂，有兴趣的读者可以查阅相关资料进行学习。

86
docs/chapter_sorting/quick_sort.md
View File

@@ -52,7 +52,7 @@ comments: true
```python title="quick_sort.py"
def partition(self, nums: list[int], left: int, right: int) -> int:
"""哨兵划分"""
# 以 nums[left] 作为基准数
# 以 nums[left] 为基准数
i, j = left, right
while i < j:
while i < j and nums[j] >= nums[left]:
@@ -78,7 +78,7 @@ comments: true
/* 哨兵划分 */
int partition(vector<int> &nums, int left, int right) {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
@@ -104,7 +104,7 @@ comments: true
/* 哨兵划分 */
int partition(int[] nums, int left, int right) {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
@@ -128,7 +128,7 @@ comments: true
/* 哨兵划分 */
int Partition(int[] nums, int left, int right) {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
@@ -147,7 +147,7 @@ comments: true
```go title="quick_sort.go"
/* 哨兵划分 */
func (q *quickSort) partition(nums []int, left, right int) int {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
i, j := left, right
for i < j {
for i < j && nums[j] >= nums[left] {
@@ -177,7 +177,7 @@ comments: true
/* 哨兵划分 */
func partition(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) -> Int {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
var i = left
var j = right
while i < j {
@@ -206,7 +206,7 @@ comments: true
/* 哨兵划分 */
partition(nums, left, right) {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
let i = left,
j = right;
while (i < j) {
@@ -236,7 +236,7 @@ comments: true
/* 哨兵划分 */
partition(nums: number[], left: number, right: number): number {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
let i = left,
j = right;
while (i < j) {
@@ -266,7 +266,7 @@ comments: true
/* 哨兵划分 */
int _partition(List<int> nums, int left, int right) {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left]) j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
@@ -283,7 +283,7 @@ comments: true
```rust title="quick_sort.rs"
/* 哨兵划分 */
fn partition(nums: &mut [i32], left: usize, right: usize) -> usize {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
let (mut i, mut j) = (left, right);
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
@@ -312,7 +312,7 @@ comments: true
/* 快速排序类 */
// 快速排序类-哨兵划分
int partition(int nums[], int left, int right) {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left]) {
@@ -345,7 +345,7 @@ comments: true
// 哨兵划分
fn partition(nums: []i32, left: usize, right: usize) usize {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
var i = left;
var j = right;
while (i < j) {
@@ -537,7 +537,7 @@ comments: true
/* 快速排序类 */
// 快速排序类-哨兵划分
int partition(int nums[], int left, int right) {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left]) {
@@ -588,17 +588,17 @@ comments: true
## 11.5.2 &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$、自适应排序**：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。
- **时间复杂度 $O(n \log n)$、自适应排序**：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ ，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。
- **空间复杂度 $O(n)$、原地排序**：在输入数组完全倒序的情况下，达到最差递归深度 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。排序操作是在原数组上进行的，未借助额外数组。
- **非稳定排序**：在哨兵划分的最后一步，基准数可能会被交换至相等元素的右侧。
## 11.5.3 &nbsp; 快排为什么快？
## 11.5.3 &nbsp; 快速排序为什么快
从名称上就能看出，快速排序在效率方面应该具有一定的优势。尽管快速排序的平均时间复杂度与“归并排序”和“堆排序”相同，但通常快速排序的效率更高，主要有以下原因。
- **出现最差情况的概率很低**：虽然快速排序的最差时间复杂度为 $O(n^2)$ ，没有归并排序稳定，但在绝大多数情况下，快速排序能在 $O(n \log n)$ 的时间复杂度下运行。
- **缓存使用效率高**：在执行哨兵划分操作时，系统可将整个子数组加载到缓存，因此访问元素的效率较高。而像“堆排序”这类算法需要跳跃式访问元素，从而缺乏这一特性。
- **复杂度的常数系数低**：在上述三种算法中，快速排序的比较、赋值、交换等操作的总数量最少。这与“插入排序”比“冒泡排序”更快的原因类似。
- **复杂度的常数系数小**：在上述三种算法中，快速排序的比较、赋值、交换等操作的总数量最少。这与“插入排序”比“冒泡排序”更快的原因类似。
## 11.5.4 &nbsp; 基准数优化
@@ -610,6 +610,8 @@ comments: true
为了进一步改进，我们可以在数组中选取三个候选元素（通常为数组的首、尾、中点元素），**并将这三个候选元素的中位数作为基准数**。这样一来，基准数“既不太小也不太大”的概率将大幅提升。当然，我们还可以选取更多候选元素，以进一步提高算法的稳健性。采用这种方法后，时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 的概率大大降低。
示例代码如下：
=== "Python"
```python title="quick_sort.py"
@@ -625,11 +627,11 @@ comments: true
def partition(self, nums: list[int], left: int, right: int) -> int:
"""哨兵划分（三数取中值）"""
# 以 nums[left] 作为基准数
# 以 nums[left] 为基准数
med = self.median_three(nums, left, (left + right) // 2, right)
# 将中位数交换至数组最左端
nums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]
# 以 nums[left] 作为基准数
# 以 nums[left] 为基准数
i, j = left, right
while i < j:
while i < j and nums[j] >= nums[left]:
@@ -664,7 +666,7 @@ comments: true
int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
@@ -699,7 +701,7 @@ comments: true
int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
@@ -734,7 +736,7 @@ comments: true
int med = MedianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
Swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
@@ -765,11 +767,11 @@ comments: true
/* 哨兵划分（三数取中值）*/
func (q *quickSortMedian) partition(nums []int, left, right int) int {
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
med := q.medianThree(nums, left, (left+right)/2, right)
// 将中位数交换至数组最左端
nums[left], nums[med] = nums[med], nums[left]
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
i, j := left, right
for i < j {
for i < j && nums[j] >= nums[left] {
@@ -835,7 +837,7 @@ comments: true
);
// 将中位数交换至数组最左端
this.swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
let i = left,
j = right;
while (i < j) {
@@ -882,7 +884,7 @@ comments: true
);
// 将中位数交换至数组最左端
this.swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
let i = left,
j = right;
while (i < j) {
@@ -920,7 +922,7 @@ comments: true
int med = _medianThree(nums, left, (left + right) ~/ 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
_swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left]) j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
@@ -953,7 +955,7 @@ comments: true
let med = Self::median_three(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
nums.swap(left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
let (mut i, mut j) = (left, right);
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
@@ -991,7 +993,7 @@ comments: true
int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
@@ -1027,7 +1029,7 @@ comments: true
var med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
// 以 nums[left] 为基准数
var i = left;
var j = right;
while (i < j) {
@@ -1044,7 +1046,7 @@ comments: true
**在某些输入下，快速排序可能占用空间较多**。以完全倒序的输入数组为例，设递归中的子数组长度为 $m$ ，每轮哨兵划分操作都将产生长度为 $0$ 的左子数组和长度为 $m - 1$ 的右子数组，这意味着每一层递归调用减少的问题规模非常小（只减少一个元素），递归树的高度会达到 $n - 1$ ，此时需要占用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
为了防止栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，比较两个子数组的长度，**仅对较短的子数组进行递归**。由于较短子数组的长度不会超过 $n / 2$ ，因此这种方法能确保递归深度不超过 $\log n$ ，从而将最差空间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
为了防止栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，比较两个子数组的长度，**仅对较短的子数组进行递归**。由于较短子数组的长度不会超过 $n / 2$ ，因此这种方法能确保递归深度不超过 $\log n$ ，从而将最差空间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。代码如下所示：
=== "Python"
@@ -1055,7 +1057,7 @@ comments: true
while left < right:
# 哨兵划分操作
pivot = self.partition(nums, left, right)
# 对两个子数组中较短的那个执行快排
# 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if pivot - left < right - pivot:
self.quick_sort(nums, left, pivot - 1) # 递归排序左子数组
left = pivot + 1 # 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1073,7 +1075,7 @@ comments: true
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
int pivot = partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left < right - pivot) {
quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1094,7 +1096,7 @@ comments: true
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
int pivot = partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left < right - pivot) {
quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1115,7 +1117,7 @@ comments: true
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
int pivot = Partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left < right - pivot) {
QuickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1136,7 +1138,7 @@ comments: true
for left < right {
// 哨兵划分操作
pivot := q.partition(nums, left, right)
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if pivot-left < right-pivot {
q.quickSort(nums, left, pivot-1) // 递归排序左子数组
left = pivot + 1 // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1159,7 +1161,7 @@ comments: true
while left < right {
// 哨兵划分操作
let pivot = partition(nums: &nums, left: left, right: right)
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left) < (right - pivot) {
quickSortTailCall(nums: &nums, left: left, right: pivot - 1) // 递归排序左子数组
left = pivot + 1 // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1180,7 +1182,7 @@ comments: true
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
let pivot = this.partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left < right - pivot) {
this.quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1201,7 +1203,7 @@ comments: true
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
let pivot = this.partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left < right - pivot) {
this.quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1222,7 +1224,7 @@ comments: true
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
int pivot = _partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left < right - pivot) {
quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1243,7 +1245,7 @@ comments: true
while left < right {
// 哨兵划分操作
let pivot = Self::partition(nums, left as usize, right as usize) as i32;
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if pivot - left < right - pivot {
Self::quick_sort(left, pivot - 1, nums); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1265,7 +1267,7 @@ comments: true
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
int pivot = partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left < right - pivot) {
quickSortTailCall(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
@@ -1288,7 +1290,7 @@ comments: true
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
var pivot = partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left < right - pivot) {
quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]

32
docs/chapter_sorting/radix_sort.md
View File

@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
# 11.10 &nbsp; 基数排序
上一节我们介绍了计数排序，它适用于数据量 $n$ 较大但数据范围 $m$ 较小的情况。假设我们需要对 $n = 10^6$ 个学号进行排序，而学号是一个 $8$ 位数字，这意味着数据范围 $m = 10^8$ 非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。
上一节介绍了计数排序，它适用于数据量 $n$ 较大但数据范围 $m$ 较小的情况。假设我们需要对 $n = 10^6$ 个学号进行排序，而学号是一个 $8$ 位数字，这意味着数据范围 $m = 10^8$ 非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。
「基数排序 radix sort」的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。
@@ -20,7 +20,7 @@ comments: true
<p align="center"> 图 11-18 &nbsp; 基数排序算法流程 </p>
下面来剖析代码实现。对于一个 $d$ 进制的数字 $x$ ，要获取其第 $k$ 位 $x_k$ ，可以使用以下计算公式：
下面剖析代码实现。对于一个 $d$ 进制的数字 $x$ ，要获取其第 $k$ 位 $x_k$ ，可以使用以下计算公式：
$$
x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d
@@ -28,7 +28,7 @@ $$
其中 $\lfloor a \rfloor$ 表示对浮点数 $a$ 向下取整，而 $\bmod \: d$ 表示对 $d$ 取余。对于学号数据，$d = 10$ 且 $k \in [1, 8]$ 。
此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 $k$ 位进行排序。
此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 $k$ 位进行排序：
=== "Python"
@@ -40,7 +40,7 @@ $$
def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int):
"""计数排序（根据 nums 第 k 位排序）"""
# 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
# 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
counter = [0] * 10
n = len(nums)
# 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -87,7 +87,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(vector<int> &nums, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
vector<int> counter(10, 0);
int n = nums.size();
// 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -137,7 +137,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
int[] counter = new int[10];
int n = nums.length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -190,7 +190,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void CountingSortDigit(int[] nums, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
int[] counter = new int[10];
int n = nums.Length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -245,7 +245,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
counter := make([]int, 10)
n := len(nums)
// 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -302,7 +302,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
func countingSortDigit(nums: inout [Int], exp: Int) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
var counter = Array(repeating: 0, count: 10)
let n = nums.count
// 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -359,7 +359,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
function countingSortDigit(nums, exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
const counter = new Array(10).fill(0);
const n = nums.length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -416,7 +416,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
function countingSortDigit(nums: number[], exp: number): void {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
const counter = new Array(10).fill(0);
const n = nums.length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -473,7 +473,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(List<int> nums, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
List<int> counter = List<int>.filled(10, 0);
int n = nums.length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -524,7 +524,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
fn counting_sort_digit(nums: &mut [i32], exp: i32) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
let mut counter = [0; 10];
let n = nums.len();
// 统计 0~9 各数字的出现次数
@@ -574,7 +574,7 @@ $$
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(int nums[], int size, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
int *counter = (int *)malloc((sizeof(int) * 10));
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (int i = 0; i < size; i++) {
@@ -631,7 +631,7 @@ $$
// 计数排序（根据 nums 第 k 位排序）
fn countingSortDigit(nums: []i32, exp: i32) !void {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
// defer mem_arena.deinit();
const mem_allocator = mem_arena.allocator();
@@ -686,7 +686,7 @@ $$
!!! question "为什么从最低位开始排序？"
在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 $a < b$ ，而第二轮排序结果 $a > b$ ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。
在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 $a < b$ ，而第二轮排序结果 $a > b$ ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，因此应该先排序低位再排序高位。
## 11.10.2 &nbsp; 算法特性

10
docs/chapter_sorting/selection_sort.md
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@@ -4,13 +4,13 @@ comments: true
# 11.2 &nbsp; 选择排序
「选择排序 selection sort」的工作原理非常直接：开启一个循环，每轮从未排序区间选择最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。
「选择排序 selection sort」的工作原理非常简单：开启一个循环，每轮从未排序区间选择最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。
设数组的长度为 $n$ ，选择排序的算法流程如图 11-2 所示。
1. 初始状态下，所有元素未排序，即未排序（索引）区间为 $[0, n-1]$ 。
2. 选取区间 $[0, n-1]$ 中的最小元素，将其与索引 $0$ 处元素交换。完成后，数组前 1 个元素已排序。
3. 选取区间 $[1, n-1]$ 中的最小元素，将其与索引 $1$ 处元素交换。完成后，数组前 2 个元素已排序。
2. 选取区间 $[0, n-1]$ 中的最小元素，将其与索引 $0$ 处的元素交换。完成后，数组前 1 个元素已排序。
3. 选取区间 $[1, n-1]$ 中的最小元素，将其与索引 $1$ 处的元素交换。完成后，数组前 2 个元素已排序。
4. 以此类推。经过 $n - 1$ 轮选择与交换后，数组前 $n - 1$ 个元素已排序。
5. 仅剩的一个元素必定是最大元素，无须排序，因此数组排序完成。
@@ -49,7 +49,7 @@ comments: true
<p align="center"> 图 11-2 &nbsp; 选择排序步骤 </p>
在代码中，我们用 $k$ 来记录未排序区间内的最小元素。
在代码中，我们用 $k$ 来记录未排序区间内的最小元素：
=== "Python"
@@ -288,7 +288,7 @@ comments: true
- **时间复杂度为 $O(n^2)$、非自适应排序**：外循环共 $n - 1$ 轮，第一轮的未排序区间长度为 $n$ ，最后一轮的未排序区间长度为 $2$ ，即各轮外循环分别包含 $n$、$n - 1$、$\dots$、$3$、$2$ 轮内循环，求和为 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。
- **空间复杂度 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
- **非稳定排序**：如图 11-3 所示，元素 `nums[i]` 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者相对顺序发生改变。
- **非稳定排序**：如图 11-3 所示，元素 `nums[i]` 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者的相对顺序发生改变。
![选择排序非稳定示例](selection_sort.assets/selection_sort_instability.png){ class="animation-figure" }

10
docs/chapter_sorting/sorting_algorithm.md
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@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
# 11.1 &nbsp; 排序算法
「排序算法 sorting algorithm」用于对一组数据按照特定顺序进行排列。排序算法有着广泛的应用，因为有序数据通常能够被更有效地查找、分析和处理。
「排序算法 sorting algorithm」用于对一组数据按照特定顺序进行排列。排序算法有着广泛的应用，因为有序数据通常能够被更高效地查找、分析和处理。
如图 11-1 所示，排序算法中的数据类型可以是整数、浮点数、字符或字符串等。排序的判断规则可根据需求设定，如数字大小、字符 ASCII 码顺序或自定义规则。
@@ -14,13 +14,13 @@ comments: true
## 11.1.1 &nbsp; 评价维度
**运行效率**：我们期望排序算法的时间复杂度尽量低，且总体操作数量较少（即时间复杂度中的常数项降低）。对于大数据量情况，运行效率显得尤为重要。
**运行效率**：我们期望排序算法的时间复杂度尽量低，且总体操作数量较少（时间复杂度中的常数项变小）。对于大数据量的情况，运行效率显得尤为重要。
**就地性**：顾名思义，「原地排序」通过在原数组上直接操作实现排序，无须借助额外的辅助数组，从而节省内存。通常情况下，原地排序的数据搬运操作较少，运行速度也更快。
**稳定性**：「稳定排序」在完成排序后，相等元素在数组中的相对顺序不发生改变。
稳定排序是多级排序场景的必要条件。假设我们有一个存储学生信息的表格，第 1 列和第 2 列分别是姓名和年龄。在这种情况下，「非稳定排序」可能导致输入数据的有序性丧失。
稳定排序是多级排序场景的必要条件。假设我们有一个存储学生信息的表格，第 1 列和第 2 列分别是姓名和年龄。在这种情况下，「非稳定排序」可能导致输入数据的有序性丧失：
```shell
# 输入数据是按照姓名排序好的
@@ -41,11 +41,11 @@ comments: true
('E', 23)
```
**自适应性**：「自适应排序」的时间复杂度会受输入数据的影响，即最佳、最差、平均时间复杂度并不完全相等。
**自适应性**：「自适应排序」的时间复杂度会受输入数据的影响，即最佳时间复杂度、最差时间复杂度、平均时间复杂度并不完全相等。
自适应性需要根据具体情况来评估。如果最差时间复杂度差于平均时间复杂度，说明排序算法在某些数据下性能可能劣化，因此被视为负面属性；而如果最佳时间复杂度优于平均时间复杂度，则被视为正面属性。
**是否基于比较**：「基于比较的排序」依赖于比较运算符（$<$、$=$、$>$）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组，理论最优时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。而「非比较排序」不使用比较运算符，时间复杂度可达 $O(n)$ ，但其通用性相对较差。
**是否基于比较**：「基于比较的排序」依赖比较运算符（$<$、$=$、$>$）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组，理论最优时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。而「非比较排序」不使用比较运算符，时间复杂度可达 $O(n)$ ，但其通用性相对较差。
## 11.1.2 &nbsp; 理想排序算法

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docs/chapter_sorting/summary.md
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@@ -7,7 +7,7 @@ comments: true
### 1. &nbsp; 重点回顾
- 冒泡排序通过交换相邻元素来实现排序。通过添加一个标志位来实现提前返回，我们可以将冒泡排序的最佳时间复杂度优化到 $O(n)$ 。
- 插入排序每轮将未排序区间内的元素插入到已排序区间的正确位置，从而完成排序。虽然插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，但由于单元操作相对较少，它在小数据量的排序任务中非常受欢迎。
- 插入排序每轮将未排序区间内的元素插入到已排序区间的正确位置，从而完成排序。虽然插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，但由于单元操作相对较少，因此在小数据量的排序任务中非常受欢迎。
- 快速排序基于哨兵划分操作实现排序。在哨兵划分中，有可能每次都选取到最差的基准数，导致时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。引入中位数基准数或随机基准数可以降低这种劣化的概率。尾递归方法可以有效地减少递归深度，将空间复杂度优化到 $O(\log n)$ 。
- 归并排序包括划分和合并两个阶段，典型地体现了分治策略。在归并排序中，排序数组需要创建辅助数组，空间复杂度为 $O(n)$ ；然而排序链表的空间复杂度可以优化至 $O(1)$ 。
- 桶排序包含三个步骤：数据分桶、桶内排序和合并结果。它同样体现了分治策略，适用于数据体量很大的情况。桶排序的关键在于对数据进行平均分配。
@@ -22,11 +22,11 @@ comments: true
### 2. &nbsp; Q & A
!!! question "排序算法稳定性在什么情况下是必须的？"
!!! question "排序算法稳定性在什么情况下是必需的？"
在现实中，我们有可能是在对象的某个属性上进行排序。例如，学生有姓名和身高两个属性，我们希望实现一个多级排序/
在现实中，我们有可能是基于对象的某个属性进行排序。例如，学生有姓名和身高两个属性，我们希望实现一个多级排序：
先按照姓名进行排序，得到 `(A, 180) (B, 185) (C, 170) (D, 170)` ；接下来对身高进行排序。由于排序算法不稳定，我们可能得到 `(D, 170) (C, 170) (A, 180) (B, 185)` 。
先按照姓名进行排序，得到 `(A, 180) (B, 185) (C, 170) (D, 170)` ；再对身高进行排序。由于排序算法不稳定，因此可能得到 `(D, 170) (C, 170) (A, 180) (B, 185)` 。
可以发现，学生 D 和 C 的位置发生了交换，姓名的有序性被破坏了，而这是我们不希望看到的。
@@ -42,13 +42,13 @@ comments: true
!!! question "关于尾递归优化，为什么选短的数组能保证递归深度不超过 $\log n$ ？"
递归深度就是当前未返回的递归方法的数量。每轮哨兵划分我们将原数组划分为两个子数组。在尾递归优化后，向下递归的子数组长度最大为原数组的一半长度。假设最差情况，一直为一半长度，那么最终的递归深度就是 $\log n$ 。
递归深度就是当前未返回的递归方法的数量。每轮哨兵划分我们将原数组划分为两个子数组。在尾递归优化后，向下递归的子数组长度最大为原数组长度的一半。假设最差情况，一直为一半长度，那么最终的递归深度就是 $\log n$ 。
回顾原始的快速排序，我们有可能会连续地递归长度较大的数组，最差情况下为 $n$、$n - 1$、$\dots$、$2$、$1$ ，递归深度为 $n$ 。尾递归优化可以避免这种情况的出现。
回顾原始的快速排序，我们有可能会连续地递归长度较大的数组，最差情况下为 $n$、$n - 1$、$\dots$、$2$、$1$ ，递归深度为 $n$ 。尾递归优化可以避免这种情况出现。
!!! question "当数组中所有元素都相等时，快速排序的时间复杂度是 $O(n^2)$ 吗？该如何处理这种退化情况？"
是的。这种情况可以考虑通过哨兵划分将数组划分为三个部分：小于、等于、大于基准数。仅向下递归小于和大于的两部分。在该方法下，输入元素全部相等的数组，仅一轮哨兵划分即可完成排序。
是的。对于这种情况，可以考虑通过哨兵划分将数组划分为三个部分：小于、等于、大于基准数。仅向下递归小于和大于的两部分。在该方法下，输入元素全部相等的数组，仅一轮哨兵划分即可完成排序。
!!! question "桶排序的最差时间复杂度为什么是 $O(n^2)$ ？"