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chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -22,17 +22,15 @@ comments: true
 
 我们可以将 0-1 背包问题看作是一个由 $n$ 轮决策组成的过程，每个物体都有不放入和放入两种决策，因此该问题是满足决策树模型的。此外，该问题的目标是求解“在限定背包容量下的最大价值”，因此较大概率是个动态规划问题。我们接下来尝试求解它。
 
-**第一步：思考每一轮的决策是什么，从而得到状态定义**
+**第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 $dp$ 表**
 
-在 0-1 背包问题中，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：物品编号 $i$ 和背包容量 $c$ ，记为 $[i, c]$ 。
+在 0-1 背包问题中，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 $i$ 和剩余背包容量 $c$ ，记为 $[i, c]$ 。
 
-**第二步：明确子问题是什么，从而得到 $dp$ 列表**
-
-状态 $[i, c]$ 对应的子问题为：**前 $i$ 个物品在容量为 $c$ 背包中的最大价值**，记为 $dp[i, c]$ 。
+状态 $[i, c]$ 对应的子问题为：**前 $i$ 个物品在剩余容量为 $c$ 的背包中的最大价值**，记为 $dp[i, c]$ 。
 
 至此，我们得到一个尺寸为 $n \times cap$ 的二维 $dp$ 矩阵。
 
-**第三步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
+**第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
 
 当我们做出物品 $i$ 的决策后，剩余的是前 $i-1$ 个物品的决策。因此，状态转移分为两种情况：
 
@@ -47,6 +45,12 @@ $$
 
 需要注意的是，若当前物品重量 $wgt[i - 1]$ 超出剩余背包容量 $c$ ，则只能选择不放入背包。
 
+**第三步：确定边界条件和状态转移顺序**
+
+当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 $0$ ，即所有 $dp[i, 0]$ 和 $dp[0, c]$ 都等于 $0$ 。
+
+当前状态 $[i, c]$ 从上方的状态 $[i-1, c]$ 和左上方的状态 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 $dp$ 表即可。
+
 ## 13.4.1.   方法一：暴力搜索
 
 搜索代码包含以下要素：
@@ -255,7 +259,7 @@ $$
     def knapsack_dp(wgt, val, cap):
         """0-1 背包：动态规划"""
         n = len(wgt)
-        # 初始化 dp 列表
+        # 初始化 dp 表
         dp = [[0] * (cap + 1) for _ in range(n + 1)]
         # 状态转移
         for i in range(1, n + 1):
@@ -405,7 +409,7 @@ $$
     def knapsack_dp_comp(wgt, val, cap):
         """0-1 背包：状态压缩后的动态规划"""
         n = len(wgt)
-        # 初始化 dp 列表
+        # 初始化 dp 表
         dp = [0] * (cap + 1)
         # 状态转移
         for i in range(1, n + 1):