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chapter_data_structure/basic_data_types/index.html

@@ -3360,8 +3360,8 @@
 <li>整数类型 <code>byte</code> 占用 <span class="arithmatex">\(1\)</span> byte = <span class="arithmatex">\(8\)</span> bits ，可以表示 <span class="arithmatex">\(2^{8}\)</span> 个数字。</li>
 <li>整数类型 <code>int</code> 占用 <span class="arithmatex">\(4\)</span> bytes = <span class="arithmatex">\(32\)</span> bits ，可以表示 <span class="arithmatex">\(2^{32}\)</span> 个数字。</li>
 </ul>
-<p>下表列举了各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。</p>
-<p align="center"> 表：基本数据类型的占用空间和取值范围 </p>
+<p>表 3-1 列举了各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。</p>
+<p align="center"> 表 3-1 &nbsp; 基本数据类型的占用空间和取值范围 </p>
 
 <div class="center-table">
 <table>
@@ -3443,9 +3443,9 @@
 </tbody>
 </table>
 </div>
-<p>对于上表，需要注意以下几点：</p>
+<p>对于表 3-1 ，需要注意以下几点：</p>
 <ul>
-<li>C, C++ 未明确规定基本数据类型大小，而因实现和平台各异。上表遵循 LP64 <a href="https://en.cppreference.com/w/cpp/language/types#Properties">数据模型</a>，其用于 Unix 64 位操作系统（例如 Linux , macOS）。</li>
+<li>C, C++ 未明确规定基本数据类型大小，而因实现和平台各异。表 3-1 遵循 LP64 <a href="https://en.cppreference.com/w/cpp/language/types#Properties">数据模型</a>，其用于 Unix 64 位操作系统（例如 Linux , macOS）。</li>
 <li>字符 <code>char</code> 的大小在 C, C++ 中为 1 字节，在大多数编程语言中取决于特定的字符编码方法，详见“字符编码”章节。</li>
 <li>即使表示布尔量仅需 1 位（<span class="arithmatex">\(0\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(1\)</span>），它在内存中通常被存储为 1 字节。这是因为现代计算机 CPU 通常将 1 字节作为最小寻址内存单元。</li>
 </ul>

chapter_data_structure/character_encoding/index.html

@@ -3456,9 +3456,9 @@
 <h1 id="34">3.4 &nbsp; 字符编码 *<a class="headerlink" href="#34" title="Permanent link">&para;</a></h1>
 <p>在计算机中，所有数据都是以二进制数的形式存储的，字符 <code>char</code> 也不例外。为了表示字符，我们需要建立一套“字符集”，规定每个字符和二进制数之间的一一对应关系。有了字符集之后，计算机就可以通过查表完成二进制数到字符的转换。</p>
 <h2 id="341-ascii">3.4.1 &nbsp; ASCII 字符集<a class="headerlink" href="#341-ascii" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>「ASCII 码」是最早出现的字符集，全称为“美国标准信息交换代码”。它使用 7 位二进制数（即一个字节的低 7 位）表示一个字符，最多能够表示 128 个不同的字符。如下图所示，ASCII 码包括英文字母的大小写、数字 0-9 、一些标点符号，以及一些控制字符（如换行符和制表符）。</p>
+<p>「ASCII 码」是最早出现的字符集，全称为“美国标准信息交换代码”。它使用 7 位二进制数（即一个字节的低 7 位）表示一个字符，最多能够表示 128 个不同的字符。如图 3-6 所示，ASCII 码包括英文字母的大小写、数字 0-9 、一些标点符号，以及一些控制字符（如换行符和制表符）。</p>
 <p><img alt="ASCII 码" src="../character_encoding.assets/ascii_table.png" /></p>
-<p align="center"> 图：ASCII 码 </p>
+<p align="center"> 图 3-6 &nbsp; ASCII 码 </p>
 
 <p>然而，<strong>ASCII 码仅能够表示英文</strong>。随着计算机的全球化，诞生了一种能够表示更多语言的字符集「EASCII」。它在 ASCII 的 7 位基础上扩展到 8 位，能够表示 256 个不同的字符。</p>
 <p>在世界范围内，陆续出现了一批适用于不同地区的 EASCII 字符集。这些字符集的前 128 个字符统一为 ASCII 码，后 128 个字符定义不同，以适应不同语言的需求。</p>
@@ -3471,9 +3471,9 @@
 <p>「Unicode」的全称为“统一字符编码”，理论上能容纳一百多万个字符。它致力于将全球范围内的字符纳入到统一的字符集之中，提供一种通用的字符集来处理和显示各种语言文字，减少因为编码标准不同而产生的乱码问题。</p>
 <p>自 1991 年发布以来，Unicode 不断扩充新的语言与字符。截止 2022 年 9 月，Unicode 已经包含 149186 个字符，包括各种语言的字符、符号、甚至是表情符号等。在庞大的 Unicode 字符集中，常用的字符占用 2 字节，有些生僻的字符占 3 字节甚至 4 字节。</p>
 <p>Unicode 是一种字符集标准，本质上是给每个字符分配一个编号（称为“码点”），<strong>但它并没有规定在计算机中如何存储这些字符码点</strong>。我们不禁会问：当多种长度的 Unicode 码点同时出现在同一个文本中时，系统如何解析字符？例如给定一个长度为 2 字节的编码，系统如何确认它是一个 2 字节的字符还是两个 1 字节的字符？</p>
-<p>对于以上问题，<strong>一种直接的解决方案是将所有字符存储为等长的编码</strong>。如下图所示，“Hello”中的每个字符占用 1 字节，“算法”中的每个字符占用 2 字节。我们可以通过高位填 0 ，将“Hello 算法”中的所有字符都编码为 2 字节长度。这样系统就可以每隔 2 字节解析一个字符，恢复出这个短语的内容了。</p>
+<p>对于以上问题，<strong>一种直接的解决方案是将所有字符存储为等长的编码</strong>。如图 3-7 所示，“Hello”中的每个字符占用 1 字节，“算法”中的每个字符占用 2 字节。我们可以通过高位填 0 ，将“Hello 算法”中的所有字符都编码为 2 字节长度。这样系统就可以每隔 2 字节解析一个字符，恢复出这个短语的内容了。</p>
 <p><img alt="Unicode 编码示例" src="../character_encoding.assets/unicode_hello_algo.png" /></p>
-<p align="center"> 图：Unicode 编码示例 </p>
+<p align="center"> 图 3-7 &nbsp; Unicode 编码示例 </p>
 
 <p>然而 ASCII 码已经向我们证明，编码英文只需要 1 字节。若采用上述方案，英文文本占用空间的大小将会是 ASCII 编码下大小的两倍，非常浪费内存空间。因此，我们需要一种更加高效的 Unicode 编码方法。</p>
 <h2 id="344-utf-8">3.4.4 &nbsp; UTF-8 编码<a class="headerlink" href="#344-utf-8" title="Permanent link">&para;</a></h2>
@@ -3483,11 +3483,11 @@
 <li>对于长度为 1 字节的字符，将最高位设置为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 、其余 7 位设置为 Unicode 码点。值得注意的是，ASCII 字符在 Unicode 字符集中占据了前 128 个码点。也就是说，<strong>UTF-8 编码可以向下兼容 ASCII 码</strong>。这意味着我们可以使用 UTF-8 来解析年代久远的 ASCII 码文本。</li>
 <li>对于长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 字节的字符（其中 <span class="arithmatex">\(n &gt; 1\)</span>），将首个字节的高 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 位都设置为 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 、第 <span class="arithmatex">\(n + 1\)</span> 位设置为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> ；从第二个字节开始，将每个字节的高 2 位都设置为 <span class="arithmatex">\(10\)</span> ；其余所有位用于填充字符的 Unicode 码点。</li>
 </ol>
-<p>下图展示了“Hello算法”对应的 UTF-8 编码。观察发现，由于最高 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 位都被设置为 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，因此系统可以通过读取最高位 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 的个数来解析出字符的长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 。</p>
+<p>图 3-8 展示了“Hello算法”对应的 UTF-8 编码。观察发现，由于最高 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 位都被设置为 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，因此系统可以通过读取最高位 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 的个数来解析出字符的长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 。</p>
 <p>但为什么要将其余所有字节的高 2 位都设置为 <span class="arithmatex">\(10\)</span> 呢？实际上，这个 <span class="arithmatex">\(10\)</span> 能够起到校验符的作用。假设系统从一个错误的字节开始解析文本，字节头部的 <span class="arithmatex">\(10\)</span> 能够帮助系统快速的判断出异常。</p>
 <p>之所以将 <span class="arithmatex">\(10\)</span> 当作校验符，是因为在 UTF-8 编码规则下，不可能有字符的最高两位是 <span class="arithmatex">\(10\)</span> 。这个结论可以用反证法来证明：假设一个字符的最高两位是 <span class="arithmatex">\(10\)</span> ，说明该字符的长度为 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，对应 ASCII 码。而 ASCII 码的最高位应该是 <span class="arithmatex">\(0\)</span> ，与假设矛盾。</p>
 <p><img alt="UTF-8 编码示例" src="../character_encoding.assets/utf-8_hello_algo.png" /></p>
-<p align="center"> 图：UTF-8 编码示例 </p>
+<p align="center"> 图 3-8 &nbsp; UTF-8 编码示例 </p>
 
 <p>除了 UTF-8 之外，常见的编码方式还包括：</p>
 <ul>

chapter_data_structure/classification_of_data_structure/index.html

@@ -3415,13 +3415,13 @@
 <p>常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆、图，它们可以从“逻辑结构”和“物理结构”两个维度进行分类。</p>
 <h2 id="311">3.1.1 &nbsp; 逻辑结构：线性与非线性<a class="headerlink" href="#311" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p><strong>逻辑结构揭示了数据元素之间的逻辑关系</strong>。在数组和链表中，数据按照顺序依次排列，体现了数据之间的线性关系；而在树中，数据从顶部向下按层次排列，表现出祖先与后代之间的派生关系；图则由节点和边构成，反映了复杂的网络关系。</p>
-<p>如下图所示，逻辑结构可被分为“线性”和“非线性”两大类。线性结构比较直观，指数据在逻辑关系上呈线性排列；非线性结构则相反，呈非线性排列。</p>
+<p>如图 3-1 所示，逻辑结构可被分为“线性”和“非线性”两大类。线性结构比较直观，指数据在逻辑关系上呈线性排列；非线性结构则相反，呈非线性排列。</p>
 <ul>
 <li><strong>线性数据结构</strong>：数组、链表、栈、队列、哈希表。</li>
 <li><strong>非线性数据结构</strong>：树、堆、图、哈希表。</li>
 </ul>
 <p><img alt="线性与非线性数据结构" src="../classification_of_data_structure.assets/classification_logic_structure.png" /></p>
-<p align="center"> 图：线性与非线性数据结构 </p>
+<p align="center"> 图 3-1 &nbsp; 线性与非线性数据结构 </p>
 
 <p>非线性数据结构可以进一步被划分为树形结构和网状结构。</p>
 <ul>
@@ -3431,15 +3431,15 @@
 </ul>
 <h2 id="312">3.1.2 &nbsp; 物理结构：连续与离散<a class="headerlink" href="#312" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>在计算机中，内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。硬盘主要用于长期存储数据，容量较大（通常可达到 TB 级别）、速度较慢。内存用于运行程序时暂存数据，速度较快，但容量较小（通常为 GB 级别）。</p>
-<p><strong>在算法运行过程中，相关数据都存储在内存中</strong>。下图展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储一定大小的数据，在算法运行时，所有数据都被存储在这些单元格中。</p>
-<p><strong>系统通过内存地址来访问目标位置的数据</strong>。如下图所示，计算机根据特定规则为表格中的每个单元格分配编号，确保每个内存空间都有唯一的内存地址。有了这些地址，程序便可以访问内存中的数据。</p>
+<p><strong>在算法运行过程中，相关数据都存储在内存中</strong>。图 3-2 展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储一定大小的数据，在算法运行时，所有数据都被存储在这些单元格中。</p>
+<p><strong>系统通过内存地址来访问目标位置的数据</strong>。如图 3-2 所示，计算机根据特定规则为表格中的每个单元格分配编号，确保每个内存空间都有唯一的内存地址。有了这些地址，程序便可以访问内存中的数据。</p>
 <p><img alt="内存条、内存空间、内存地址" src="../classification_of_data_structure.assets/computer_memory_location.png" /></p>
-<p align="center"> 图：内存条、内存空间、内存地址 </p>
+<p align="center"> 图 3-2 &nbsp; 内存条、内存空间、内存地址 </p>
 
 <p>内存是所有程序的共享资源，当某块内存被某个程序占用时，则无法被其他程序同时使用了。<strong>因此在数据结构与算法的设计中，内存资源是一个重要的考虑因素</strong>。比如，算法所占用的内存峰值不应超过系统剩余空闲内存；如果缺少连续大块的内存空间，那么所选用的数据结构必须能够存储在离散的内存空间内。</p>
-<p>如下图所示，<strong>物理结构反映了数据在计算机内存中的存储方式</strong>，可分为连续空间存储（数组）和离散空间存储（链表）。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，同时在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。</p>
+<p>如图 3-3 所示，<strong>物理结构反映了数据在计算机内存中的存储方式</strong>，可分为连续空间存储（数组）和离散空间存储（链表）。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，同时在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。</p>
 <p><img alt="连续空间存储与离散空间存储" src="../classification_of_data_structure.assets/classification_phisical_structure.png" /></p>
-<p align="center"> 图：连续空间存储与离散空间存储 </p>
+<p align="center"> 图 3-3 &nbsp; 连续空间存储与离散空间存储 </p>
 
 <p>值得说明的是，<strong>所有数据结构都是基于数组、链表或二者的组合实现的</strong>。例如，栈和队列既可以使用数组实现，也可以使用链表实现；而哈希表的实现可能同时包含数组和链表。</p>
 <ul>

chapter_data_structure/number_encoding/index.html

@@ -3424,9 +3424,9 @@
 <li><strong>反码</strong>：正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。</li>
 <li><strong>补码</strong>：正数的补码与其原码相同，负数的补码是在其反码的基础上加 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 。</li>
 </ul>
-<p>下图展示了原吗、反码和补码之间的转换方法。</p>
+<p>图 3-4 展示了原吗、反码和补码之间的转换方法。</p>
 <p><img alt="原码、反码与补码之间的相互转换" src="../number_encoding.assets/1s_2s_complement.png" /></p>
-<p align="center"> 图：原码、反码与补码之间的相互转换 </p>
+<p align="center"> 图 3-4 &nbsp; 原码、反码与补码之间的相互转换 </p>
 
 <p>「原码 true form」虽然最直观，但存在一些局限性。一方面，<strong>负数的原码不能直接用于运算</strong>。例如在原码下计算 <span class="arithmatex">\(1 + (-2)\)</span> ，得到的结果是 <span class="arithmatex">\(-3\)</span> ，这显然是不对的。</p>
 <div class="arithmatex">\[
@@ -3508,16 +3508,16 @@ b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0
 \end{aligned}
 \]</div>
 <p><img alt="IEEE 754 标准下的 float 的计算示例" src="../number_encoding.assets/ieee_754_float.png" /></p>
-<p align="center"> 图：IEEE 754 标准下的 float 的计算示例 </p>
+<p align="center"> 图 3-5 &nbsp; IEEE 754 标准下的 float 的计算示例 </p>
 
-<p>观察上图，给定一个示例数据 <span class="arithmatex">\(\mathrm{S} = 0\)</span> ， <span class="arithmatex">\(\mathrm{E} = 124\)</span> ，<span class="arithmatex">\(\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375\)</span> ，则有：</p>
+<p>观察图 3-5 ，给定一个示例数据 <span class="arithmatex">\(\mathrm{S} = 0\)</span> ， <span class="arithmatex">\(\mathrm{E} = 124\)</span> ，<span class="arithmatex">\(\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375\)</span> ，则有：</p>
 <div class="arithmatex">\[
 \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875
 \]</div>
 <p>现在我们可以回答最初的问题：<strong><code>float</code> 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 <code>int</code></strong> 。根据以上计算，<code>float</code> 可表示的最大正数为 <span class="arithmatex">\(2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}\)</span> ，切换符号位便可得到最小负数。</p>
 <p><strong>尽管浮点数 <code>float</code> 扩展了取值范围，但其副作用是牺牲了精度</strong>。整数类型 <code>int</code> 将全部 32 位用于表示数字，数字是均匀分布的；而由于指数位的存在，浮点数 <code>float</code> 的数值越大，相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。</p>
-<p>如下表所示，指数位 <span class="arithmatex">\(E = 0\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(E = 255\)</span> 具有特殊含义，<strong>用于表示零、无穷大、<span class="arithmatex">\(\mathrm{NaN}\)</span> 等</strong>。</p>
-<p align="center"> 表：指数位含义 </p>
+<p>如表 3-2 所示，指数位 <span class="arithmatex">\(E = 0\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(E = 255\)</span> 具有特殊含义，<strong>用于表示零、无穷大、<span class="arithmatex">\(\mathrm{NaN}\)</span> 等</strong>。</p>
+<p align="center"> 表 3-2 &nbsp; 指数位含义 </p>
 
 <div class="center-table">
 <table>