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chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html

@@ -3453,7 +3453,7 @@
 <p>给定一个二叉树的前序遍历 <code>preorder</code> 和中序遍历 <code>inorder</code> ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。</p>
 </div>
 <p><img alt="构建二叉树的示例数据" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png" /></p>
-<p align="center"> 图：构建二叉树的示例数据 </p>
+<p align="center"> 图 12-5 &nbsp; 构建二叉树的示例数据 </p>
 
 <h3 id="1">1. &nbsp; 判断是否为分治问题<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>原问题定义为从 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题：</p>
@@ -3466,17 +3466,17 @@
 <p>根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但问题是：<strong>如何通过前序遍历 <code>preorder</code> 和中序遍历 <code>inorder</code> 来划分左子树和右子树呢</strong>？</p>
 <p>根据定义，<code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 都可以被划分为三个部分：</p>
 <ul>
-<li>前序遍历：<code>[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
-<li>中序遍历：<code>[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]</code> ，例如上图 <code>[ 9 | 3 | 1 2 7 ]</code> 。</li>
+<li>前序遍历：<code>[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]</code> ，例如图 12-5 的树对应 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
+<li>中序遍历：<code>[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]</code> ，例如图 12-5 的树对应 <code>[ 9 | 3 | 1 2 7 ]</code> 。</li>
 </ul>
-<p>以上图数据为例，我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果：</p>
+<p>以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果：</p>
 <ol>
 <li>前序遍历的首元素 3 是根节点的值。</li>
 <li>查找根节点 3 在 <code>inorder</code> 中的索引，利用该索引可将 <code>inorder</code> 划分为 <code>[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]</code> 。</li>
 <li>根据 <code>inorder</code> 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 <code>preorder</code> 划分为 <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> 。</li>
 </ol>
 <p><img alt="在前序和中序遍历中划分子树" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png" /></p>
-<p align="center"> 图：在前序和中序遍历中划分子树 </p>
+<p align="center"> 图 12-6 &nbsp; 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
 
 <h3 id="3">3. &nbsp; 基于变量描述子树区间<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>根据以上划分方法，<strong>我们已经得到根节点、左子树、右子树在 <code>preorder</code> 和 <code>inorder</code> 中的索引区间</strong>。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：</p>
@@ -3485,8 +3485,8 @@
 <li>将当前树的根节点在 <code>inorder</code> 中的索引记为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 。</li>
 <li>将当前树在 <code>inorder</code> 中的索引区间记为 <span class="arithmatex">\([l, r]\)</span> 。</li>
 </ul>
-<p>如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 <code>preorder</code> 中的索引，以及子树在 <code>inorder</code> 中的索引区间。</p>
-<p align="center"> 表：根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
+<p>如表 12-1 所示，通过以上变量即可表示根节点在 <code>preorder</code> 中的索引，以及子树在 <code>inorder</code> 中的索引区间。</p>
+<p align="center"> 表 12-1 &nbsp; 根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
 
 <div class="center-table">
 <table>
@@ -3516,9 +3516,9 @@
 </tbody>
 </table>
 </div>
-<p>请注意，右子树根节点索引中的 <span class="arithmatex">\((m-l)\)</span> 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。</p>
+<p>请注意，右子树根节点索引中的 <span class="arithmatex">\((m-l)\)</span> 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合图 12-7 理解。</p>
 <p><img alt="根节点和左右子树的索引区间表示" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png" /></p>
-<p align="center"> 图：根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
+<p align="center"> 图 12-7 &nbsp; 根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
 
 <h3 id="4">4. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为了提升查询 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 的效率，我们借助一个哈希表 <code>hmap</code> 来存储数组 <code>inorder</code> 中元素到索引的映射。</p>
@@ -3830,7 +3830,7 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。</p>
+<p>图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_2_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_2_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_2_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_2_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_2_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_2_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_2_8">&lt;8&gt;</label><label for="__tabbed_2_9">&lt;9&gt;</label><label for="__tabbed_2_10">&lt;10&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -3865,7 +3865,7 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p align="center"> 图：构建二叉树的递归过程 </p>
+<p align="center"> 图 12-8 &nbsp; 构建二叉树的递归过程 </p>
 
 <p>设树的节点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 <code>dfs()</code> ）使用 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 时间。<strong>因此总体时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
 <p>哈希表存储 <code>inorder</code> 元素到索引的映射，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 的栈帧空间。<strong>因此总体空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>