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krahets
@@ -1716,24 +1716,17 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#911" class="md-nav__link">
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9.1.1 图常见类型
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9.1.1 图常见类型与术语
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<a href="#912" class="md-nav__link">
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9.1.2 图常用术语
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9.1.2 图的表示
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9.1.3 图的表示
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@@ -1756,8 +1749,8 @@
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<a href="#914" class="md-nav__link">
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9.1.4 图常见应用
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<a href="#913" class="md-nav__link">
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9.1.3 图常见应用
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@@ -3410,24 +3403,17 @@
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<a href="#911" class="md-nav__link">
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9.1.1 图常见类型
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9.1.1 图常见类型与术语
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9.1.2 图常用术语
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9.1.2 图的表示
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9.1.3 图的表示
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@@ -3450,8 +3436,8 @@
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<li class="md-nav__item">
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9.1.4 图常见应用
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9.1.3 图常见应用
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</li>
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@@ -3488,12 +3474,12 @@ E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
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G & = \{ V, E \} \newline
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\end{aligned}
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\]</div>
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<p>如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如下图所示，<strong>相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高</strong>，从而更为复杂。</p>
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<p><img alt="链表、树、图之间的关系" src="../graph.assets/linkedlist_tree_graph.png" /></p>
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<p align="center"> 图：链表、树、图之间的关系 </p>
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<p>那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把顶点看作节点，把边看作连接各个节点的指针，则可将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。<strong>相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂</strong>。</p>
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<h2 id="911">9.1.1 图常见类型<a class="headerlink" href="#911" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>根据边是否具有方向，可分为「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。</p>
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<h2 id="911">9.1.1 图常见类型与术语<a class="headerlink" href="#911" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>根据边是否具有方向，可分为下图所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。</p>
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<ul>
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<li>在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。</li>
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<li>在有向图中，边具有方向性，即 <span class="arithmatex">\(A \rightarrow B\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(A \leftarrow B\)</span> 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。</li>
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@@ -3501,7 +3487,7 @@ G & = \{ V, E \} \newline
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<p><img alt="有向图与无向图" src="../graph.assets/directed_graph.png" /></p>
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<p align="center"> 图：有向图与无向图 </p>
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<p>根据所有顶点是否连通，可分为「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。</p>
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<p>根据所有顶点是否连通，可分为下图所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。</p>
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<ul>
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<li>对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。</li>
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<li>对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。</li>
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@@ -3509,18 +3495,18 @@ G & = \{ V, E \} \newline
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<p><img alt="连通图与非连通图" src="../graph.assets/connected_graph.png" /></p>
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<p align="center"> 图：连通图与非连通图 </p>
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<p>我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到「有权图 weighted graph」。例如，在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。</p>
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<p>我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到下图所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。</p>
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<p><img alt="有权图与无权图" src="../graph.assets/weighted_graph.png" /></p>
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<p align="center"> 图：有权图与无权图 </p>
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<h2 id="912">9.1.2 图常用术语<a class="headerlink" href="#912" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>图的常用术语包括：</p>
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<ul>
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<li>「邻接 adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。</li>
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<li>「路径 path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。</li>
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<li>「度 degree」：一个顶点拥有的边数。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。</li>
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</ul>
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<h2 id="913">9.1.3 图的表示<a class="headerlink" href="#913" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>图的常用表示方法包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。</p>
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<h2 id="912">9.1.2 图的表示<a class="headerlink" href="#912" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。</p>
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<h3 id="1">1. 邻接矩阵<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>设图的顶点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，「邻接矩阵 adjacency matrix」使用一个 <span class="arithmatex">\(n \times n\)</span> 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 表示两个顶点之间是否存在边。</p>
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<p>如下图所示，设邻接矩阵为 <span class="arithmatex">\(M\)</span> 、顶点列表为 <span class="arithmatex">\(V\)</span> ，那么矩阵元素 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 1\)</span> 表示顶点 <span class="arithmatex">\(V[i]\)</span> 到顶点 <span class="arithmatex">\(V[j]\)</span> 之间存在边，反之 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 0\)</span> 表示两顶点之间无边。</p>
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@@ -3535,14 +3521,14 @@ G & = \{ V, E \} \newline
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</ul>
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<p>使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。然而，矩阵的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，内存占用较多。</p>
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<h3 id="2">2. 邻接表<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>「邻接表 adjacency list」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 条链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。</p>
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<p>「邻接表 adjacency list」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 条链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。</p>
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<p><img alt="图的邻接表表示" src="../graph.assets/adjacency_list.png" /></p>
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<p align="center"> 图：图的邻接表表示 </p>
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<p>邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 <span class="arithmatex">\(n^2\)</span> ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。</p>
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<p>观察上图，<strong>邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率</strong>。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
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<h2 id="914">9.1.4 图常见应用<a class="headerlink" href="#914" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>实际应用中，许多系统都可以用图来建模，相应的待求解问题也可以约化为图计算问题。</p>
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<h2 id="913">9.1.3 图常见应用<a class="headerlink" href="#913" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>如下图所示，许多现实系统都可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。</p>
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<p align="center"> 表：现实生活中常见的图 </p>
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