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@@ -2,7 +2,7 @@
comments: true
---
# 2.2   时间复杂度
# 2.3   时间复杂度
运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想要准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？
@@ -189,7 +189,7 @@ $$
但实际上，**统计算法的运行时间既不合理也不现实**。首先，我们不希望将预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。
## 2.2.1   统计时间增长趋势
## 2.3.1   统计时间增长趋势
时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，**而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势**。
@@ -430,7 +430,7 @@ $$
}
```
图 2-1 展示了以上三个算法函数的时间复杂度。
图 2-7 展示了以上三个算法函数的时间复杂度。
- 算法 `A` 只有 $1$ 个打印操作，算法运行时间不随着 $n$ 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。
- 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次，算法运行时间随着 $n$ 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
@@ -438,7 +438,7 @@ $$
![算法 A 、B 和 C 的时间增长趋势](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png)
<p align="center"> 图 2-1 &nbsp; 算法 A 、B 和 C 的时间增长趋势 </p>
<p align="center"> 图 2-7 &nbsp; 算法 A 、B 和 C 的时间增长趋势 </p>
相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？
@@ -446,7 +446,7 @@ $$
- **时间复杂度的推算方法更简便**。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样以来估算难度就大大降低了。
- **时间复杂度也存在一定的局限性**。例如，尽管算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 `B` 的时间复杂度比 `C` 高，但在输入数据大小 $n$ 较小时，算法 `B` 明显优于算法 `C` 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。
## 2.2.2 &nbsp; 函数渐近上界
## 2.3.2 &nbsp; 函数渐近上界
给定一个输入大小为 $n$ 的函数：
@@ -632,13 +632,13 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因
T(n) = O(f(n))
$$
如图 2-2 所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 $f(n)$ ，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 $c$ 的倍数。
如图 2-8 所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 $f(n)$ ，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 $c$ 的倍数。
![函数的渐近上界](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png)
<p align="center"> 图 2-2 &nbsp; 函数的渐近上界 </p>
<p align="center"> 图 2-8 &nbsp; 函数的渐近上界 </p>
## 2.2.3 &nbsp; 推算方法
## 2.3.3 &nbsp; 推算方法
渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握推算方法，数学意义就可以逐渐领悟。
@@ -895,9 +895,9 @@ $$
</div>
## 2.2.4 &nbsp; 常见类型
## 2.3.4 &nbsp; 常见类型
设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型如图 2-3 所示（按照从低到高的顺序排列）。
设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型如图 2-9 所示（按照从低到高的顺序排列）。
$$
\begin{aligned}
@@ -908,7 +908,7 @@ $$
![常见的时间复杂度类型](time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png)
<p align="center"> 图 2-3 &nbsp; 常见的时间复杂度类型 </p>
<p align="center"> 图 2-9 &nbsp; 常见的时间复杂度类型 </p>
!!! tip
@@ -1600,11 +1600,11 @@ $$
}
```
图 2-4 对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。
图 2-10 对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。
![常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
<p align="center"> 图 2-4 &nbsp; 常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度 </p>
<p align="center"> 图 2-10 &nbsp; 常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度 </p>
以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1, n-2, \dots, 2, 1$ 次，平均为 $n / 2$ 次，因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ 。
@@ -1884,7 +1884,7 @@ $$
生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后变为 $2$ 个，分裂两轮后变为 $4$ 个，以此类推，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。
图 2-5 和以下代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
图 2-11 和以下代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
=== "Java"
@@ -2110,7 +2110,7 @@ $$
![指数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
<p align="center"> 图 2-5 &nbsp; 指数阶的时间复杂度 </p>
<p align="center"> 图 2-11 &nbsp; 指数阶的时间复杂度 </p>
在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过 $n$ 次分裂后停止：
@@ -2249,7 +2249,7 @@ $$
与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。
图 2-6 和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 $O(\log_2 n)$ ，简记为 $O(\log n)$ 。
图 2-12 和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 $O(\log_2 n)$ ，简记为 $O(\log n)$ 。
=== "Java"
@@ -2422,7 +2422,7 @@ $$
![对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)
<p align="center"> 图 2-6 &nbsp; 对数阶的时间复杂度 </p>
<p align="center"> 图 2-12 &nbsp; 对数阶的时间复杂度 </p>
与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一个高度为 $\log_2 n$ 的递归树：
@@ -2753,11 +2753,11 @@ $$
}
```
图 2-7 展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 $n$ ，树共有 $\log_2 n + 1$ 层，因此时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
图 2-13 展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 $n$ ，树共有 $\log_2 n + 1$ 层，因此时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
![线性对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
<p align="center"> 图 2-7 &nbsp; 线性对数阶的时间复杂度 </p>
<p align="center"> 图 2-13 &nbsp; 线性对数阶的时间复杂度 </p>
主流排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。
@@ -2769,7 +2769,7 @@ $$
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
$$
阶乘通常使用递归实现。如图 2-8 和以下代码所示，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，以此类推，直至第 $n$ 层时停止分裂：
阶乘通常使用递归实现。如图 2-14 和以下代码所示，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，以此类推，直至第 $n$ 层时停止分裂：
=== "Java"
@@ -2961,11 +2961,11 @@ $$
![阶乘阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
<p align="center"> 图 2-8 &nbsp; 阶乘阶的时间复杂度 </p>
<p align="center"> 图 2-14 &nbsp; 阶乘阶的时间复杂度 </p>
请注意，因为当 $n \geq 4$ 时恒有 $n! > 2^n$ ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 $n$ 较大时也是不可接受的。
## 2.2.5 &nbsp; 最差、最佳、平均时间复杂度
## 2.3.5 &nbsp; 最差、最佳、平均时间复杂度
**算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关**。假设输入一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，每个数字只出现一次，但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论。