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docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

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 我们已经学过，搜索算法分为两大类：暴力搜索、自适应搜索。暴力搜索的时间复杂度为 $O(n)$ 。自适应搜索利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 的时间复杂度。
 
+### 基于分治的搜索算法
+
 实际上，**$O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的**，例如：
 
 - 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
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 分治之所以能够提升搜索效率，是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，**而基于分治的搜索每轮可以排除一半选项**。
 
-## 基于分治实现二分
+### 基于分治实现二分
 
 接下来，我们尝试从分治策略的角度分析二分查找的性质：
 

docs/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md

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 ![构建二叉树的示例数据](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png)
 
+### 判断是否为分治问题
+
 原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题：
 
 - **问题可以被分解**：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
 - **子问题是独立的**：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历或后序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
 - **子问题的解可以合并**：一旦我们得到了左子树和右子树，我们可以将它们链接到根节点上，从而得到原问题的解。
 
+### 如何划分子树
+
 根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但问题是：**如何通过前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 来划分左子树和右子树呢**？
 
 根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分：
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 ![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)
 
+### 使用指针描述子树区间
+
 至此，**我们已经推导出根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：
 
 - 将当前树的根节点在 `preorder` 中的索引记为 $i$ ；
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 ![根节点和左右子树的索引区间表示](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png)
 
+### 代码实现
+
 接下来就可以实现代码了。为了提升查询 $m$ 的效率，我们借助一个哈希表 `hmap` 来存储 `inorder` 列表元素到索引的映射。
 
 === "Java"

docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md

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 在本文中，**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
 
-先考虑最简单的情况：对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
+### 考虑基本情况
+
+对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
 
 === "<1>"
     ![规模为 1 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png)
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 === "<4>"
     ![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png)
 
+### 子问题分解
+
 对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，我们可以从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，并执行以下步骤：
 
 1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` ；
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 ![汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png)
 
+### 代码实现
+
 在代码实现中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` 。
 
 === "Java"
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 ![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)
 
-有趣的是，汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
+!!! quote
 
-然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。
+    汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
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+    然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。