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2026-04-05 03:30:30 +08:00 · 2023-07-21 21:54:51 +08:00
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--- a/docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
+++ b/docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
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 如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并尝试求解它。

-## 问题求解
+## 问题求解步骤

 动态规划的解题流程可能会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 $dp$ 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。

@@ -87,7 +87,7 @@ $$

 接下来，我们就可以实现动态规划代码了。然而，由于子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 $\rightarrow$ 记忆化搜索 $\rightarrow$ 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。

-## 方法一：暴力搜索
+### 方法一：暴力搜索

 从状态 $[i, j]$ 开始搜索，不断分解为更小的状态 $[i-1, j]$ 和 $[i, j-1]$ ，包括以下递归要素：

@@ -169,7 +169,7 @@ $$

 每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 $m + n - 2$ 步，所以最差时间复杂度为 $O(2^{m + n})$ 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。

-## 方法二：记忆化搜索
+### 方法二：记忆化搜索

 为了避免重复计算重叠子问题，我们引入一个和网格 `grid` 相同尺寸的记忆列表 `mem` ，用于记录各个子问题的解，提升搜索效率。

@@ -243,7 +243,7 @@ $$

 ![记忆化搜索递归树](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png)

-## 方法三：动态规划
+### 方法三：动态规划

 动态规划代码是从底至顶的，仅需循环即可实现。

@@ -351,6 +351,8 @@ $$
 === "<12>"
    ![min_path_sum_dp_step12](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dp_step12.png)

+### 状态压缩
+
 如果希望进一步节省空间使用，可以考虑进行状态压缩。每个格子只与左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 $dp$ 表。

 由于数组 `dp` 只能表示一行的状态，因此我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。