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docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -49,7 +49,7 @@ $$
 
     完成以上三步后，我们可以直接实现从底至顶的动态规划解法。而为了展示本题包含的重叠子问题，本文也同时给出从顶至底的暴力搜索和记忆化搜索解法。
 
-## 方法一：暴力搜索
+### 方法一：暴力搜索
 
 搜索代码包含以下要素：
 
@@ -129,7 +129,7 @@ $$
 
 ![0-1 背包的暴力搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs.png)
 
-## 方法二：记忆化搜索
+### 方法二：记忆化搜索
 
 为了防止重复求解重叠子问题，我们借助一个记忆列表 `mem` 来记录子问题的解，其中 `mem[i][c]` 对应解 $dp[i, c]$ 。
 
@@ -203,7 +203,7 @@ $$
 
 ![0-1 背包的记忆化搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png)
 
-## 方法三：动态规划
+### 方法三：动态规划
 
 动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 $dp$ 表的过程，代码如下所示。
 
@@ -317,7 +317,9 @@ $$
 === "<14>"
     ![knapsack_dp_step14](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step14.png)
 
-**最后考虑状态压缩**。以上代码中的数组 `dp` 占用 $O(n \times cap)$ 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。
+### 状态压缩
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+最后考虑状态压缩。以上代码中的数组 `dp` 占用 $O(n \times cap)$ 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。
 
 那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态，**为了避免左方区域的格子在状态转移中被覆盖，应该采取倒序遍历**。