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https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-04-23 18:11:45 +08:00
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krahets
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<link rel="canonical" href="https://www.hello-algo.com/chapter_graph/graph/">
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<label class="md-nav__link" for="__nav_2" id="__nav_2_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_introduction/summary/" class="md-nav__link">
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1.3. 小结
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</a>
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</li>
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@@ -1053,6 +1069,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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@@ -1095,6 +1113,20 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_heap/summary/" class="md-nav__link">
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8.3. 小结
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</a>
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</li>
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</ul>
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</nav>
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</li>
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@@ -1128,6 +1160,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_10" id="__nav_10_label" tabindex="0">
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@@ -1266,6 +1300,20 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../summary/" class="md-nav__link">
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9.4. 小结
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</a>
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</ul>
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</li>
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@@ -1691,8 +1739,8 @@ G & = \{ V, E \} \newline
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<h2 id="912">9.1.2. 图常用术语<a class="headerlink" href="#912" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<ul>
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<li>「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。</li>
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<li>「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。</li>
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<li>「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。例如，上图中顶点 1 的邻接顶点为顶点 2, 3, 5 。</li>
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<li>「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。例如，上图中 1, 5, 2, 4 是顶点 1 到顶点 4 的一个路径。</li>
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<li>「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。</li>
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</ul>
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<h2 id="913">9.1.3. 图的表示<a class="headerlink" href="#913" title="Permanent link">¶</a></h2>
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@@ -1711,12 +1759,12 @@ G & = \{ V, E \} \newline
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</ul>
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<p>使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接通过访问矩阵元素来获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。然而，矩阵的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，内存占用较大。</p>
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<h3 id="_2">邻接表<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>「邻接表 Adjacency List」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图，链表结点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 条链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其中存储了所有与该顶点相连的顶点。</p>
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<p>「邻接表 Adjacency List」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图，链表结点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 条链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。</p>
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<p><img alt="图的邻接表表示" src="../graph.assets/adjacency_list.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 图的邻接表表示 </p>
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<p>邻接表仅存储存在的边，而边的总数往往远小于 <span class="arithmatex">\(n^2\)</span> ，因此更加节省空间。但是，因为在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，所以其时间效率不如邻接矩阵。</p>
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<p>观察上图发现，<strong>邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率</strong>。比如，当链表较长时，可以把链表转化为「AVL 树」，从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为 HashSet（即哈希表），将时间复杂度降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
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<p>观察上图发现，<strong>邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率</strong>。比如，当链表较长时，可以把链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为哈希表，将时间复杂度降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
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<h2 id="914">9.1.4. 图常见应用<a class="headerlink" href="#914" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>现实中的许多系统都可以使用图来建模，对应的待求解问题也可以被约化为图计算问题。</p>
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<div class="center-table">
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@@ -1828,7 +1876,7 @@ G & = \{ V, E \} \newline
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<nav class="md-footer__inner md-grid" aria-label="页脚" >
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<a href="../../chapter_heap/build_heap/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.2. &nbsp; 建堆操作 *" rel="prev">
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<a href="../../chapter_heap/summary/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.3. &nbsp; 小结" rel="prev">
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@@ -1837,7 +1885,7 @@ G & = \{ V, E \} \newline
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8.2. 建堆操作 *
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8.3. 小结
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