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chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -10,7 +10,7 @@ comments: true
 
 !!! question
 
-    给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，现在有个容量为 $cap$ 的背包，请求解在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。
+    给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，现在有个容量为 $cap$ 的背包，每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。
     
     请注意，物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
 
@@ -62,19 +62,49 @@ $$
 === "Java"
 
     ```java title="knapsack.java"
-    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
+    /* 0-1 背包：暴力搜索 */
+    int knapsackDFS(int[] wgt, int[] val, int i, int c) {
+        // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 || c == 0) {
+            return 0;
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能不放入背包
+        if (wgt[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
+        int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
+        // 返回两种方案中价值更大的那一个
+        return Math.max(no, yes);
+    }
     ```
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="knapsack.cpp"
-    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
+    /* 0-1 背包：暴力搜索 */
+    int knapsackDFS(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int i, int c) {
+        // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 || c == 0) {
+            return 0;
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能不放入背包
+        if (wgt[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
+        int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
+        // 返回两种方案中价值更大的那一个
+        return max(no, yes);
+    }
     ```
 
 === "Python"
 
     ```python title="knapsack.py"
-    def knapsack_dfs(wgt, val, i, c):
+    def knapsack_dfs(wgt: list[int], val: list[int], i: int, c: int) -> int:
         """0-1 背包：暴力搜索"""
         # 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
         if i == 0 or c == 0:
@@ -116,7 +146,22 @@ $$
 === "C#"
 
     ```csharp title="knapsack.cs"
-    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
+    /* 0-1 背包：暴力搜索 */
+    int knapsackDFS(int[] weight, int[] val, int i, int c) {
+        // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 || c == 0) {
+            return 0;
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能不放入背包
+        if (weight[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFS(weight, val, i - 1, c);
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        int no = knapsackDFS(weight, val, i - 1, c);
+        int yes = knapsackDFS(weight, val, i - 1, c - weight[i - 1]) + val[i - 1];
+        // 返回两种方案中价值更大的那一个
+        return Math.Max(no, yes);
+    }
     ```
 
 === "Swift"
@@ -152,19 +197,61 @@ $$
 === "Java"
 
     ```java title="knapsack.java"
-    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
+    /* 0-1 背包：记忆化搜索 */
+    int knapsackDFSMem(int[] wgt, int[] val, int[][] mem, int i, int c) {
+        // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 || c == 0) {
+            return 0;
+        }
+        // 若已有记录，则直接返回
+        if (mem[i][c] != -1) {
+            return mem[i][c];
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能不放入背包
+        if (wgt[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
+        int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
+        // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
+        mem[i][c] = Math.max(no, yes);
+        return mem[i][c];
+    }
     ```
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="knapsack.cpp"
-    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
+    /* 0-1 背包：记忆化搜索 */
+    int knapsackDFSMem(vector<int> &wgt, vector<int> &val, vector<vector<int>> &mem, int i, int c) {
+        // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 || c == 0) {
+            return 0;
+        }
+        // 若已有记录，则直接返回
+        if (mem[i][c] != -1) {
+            return mem[i][c];
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能不放入背包
+        if (wgt[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
+        int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
+        // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
+        mem[i][c] = max(no, yes);
+        return mem[i][c];
+    }
     ```
 
 === "Python"
 
     ```python title="knapsack.py"
-    def knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i, c):
+    def knapsack_dfs_mem(
+        wgt: list[int], val: list[int], mem: list[list[int]], i: int, c: int
+    ) -> int:
         """0-1 背包：记忆化搜索"""
         # 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
         if i == 0 or c == 0:
@@ -210,7 +297,27 @@ $$
 === "C#"
 
     ```csharp title="knapsack.cs"
-    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
+    /* 0-1 背包：记忆化搜索 */
+    int knapsackDFSMem(int[] weight, int[] val, int[][] mem, int i, int c) {
+        // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 || c == 0) {
+            return 0;
+        }
+        // 若已有记录，则直接返回
+        if (mem[i][c] != -1) {
+            return mem[i][c];
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能不放入背包
+        if (weight[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c);
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        int no = knapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c);
+        int yes = knapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c - weight[i - 1]) + val[i - 1];
+        // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
+        mem[i][c] = Math.Max(no, yes);
+        return mem[i][c];
+    }
     ```
 
 === "Swift"
@@ -244,19 +351,55 @@ $$
 === "Java"
 
     ```java title="knapsack.java"
-    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
+    /* 0-1 背包：动态规划 */
+    int knapsackDP(int[] wgt, int[] val, int cap) {
+        int n = wgt.length;
+        // 初始化 dp 表
+        int[][] dp = new int[n + 1][cap + 1];
+        // 状态转移
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            for (int c = 1; c <= cap; c++) {
+                if (wgt[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[i][c] = dp[i - 1][c];
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[i][c] = Math.max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][cap];
+    }
     ```
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="knapsack.cpp"
-    [class]{}-[func]{knapsackDP}
+    /* 0-1 背包：动态规划 */
+    int knapsackDP(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
+        int n = wgt.size();
+        // 初始化 dp 表
+        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(cap + 1, 0));
+        // 状态转移
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            for (int c = 1; c <= cap; c++) {
+                if (wgt[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[i][c] = dp[i - 1][c];
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][cap];
+    }
     ```
 
 === "Python"
 
     ```python title="knapsack.py"
-    def knapsack_dp(wgt, val, cap):
+    def knapsack_dp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
         """0-1 背包：动态规划"""
         n = len(wgt)
         # 初始化 dp 表
@@ -269,7 +412,7 @@ $$
                     dp[i][c] = dp[i - 1][c]
                 else:
                     # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
-                    dp[i][c] = max(dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1], dp[i - 1][c])
+                    dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
         return dp[n][cap]
     ```
 
@@ -300,7 +443,25 @@ $$
 === "C#"
 
     ```csharp title="knapsack.cs"
-    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
+    /* 0-1 背包：动态规划 */
+    int knapsackDP(int[] weight, int[] val, int cap) {
+        int n = weight.Length;
+        // 初始化 dp 表
+        int[,] dp = new int[n + 1, cap + 1];
+        // 状态转移
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            for (int c = 1; c <= cap; c++) {
+                if (weight[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[i, c] = dp[i - 1, c];
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[i, c] = Math.Max(dp[i - 1, c - weight[i - 1]] + val[i - 1], dp[i - 1, c]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n, cap];
+    }
     ```
 
 === "Swift"
@@ -394,19 +555,51 @@ $$
 === "Java"
 
     ```java title="knapsack.java"
-    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
+    /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+    int knapsackDPComp(int[] wgt, int[] val, int cap) {
+        int n = wgt.length;
+        // 初始化 dp 表
+        int[] dp = new int[cap + 1];
+        // 状态转移
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            // 倒序遍历
+            for (int c = cap; c >= 1; c--) {
+                if (wgt[i - 1] <= c) {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[cap];
+    }
     ```
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="knapsack.cpp"
-    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
+    /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+    int knapsackDPComp(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
+        int n = wgt.size();
+        // 初始化 dp 表
+        vector<int> dp(cap + 1, 0);
+        // 状态转移
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            // 倒序遍历
+            for (int c = cap; c >= 1; c--) {
+                if (wgt[i - 1] <= c) {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[cap];
+    }
     ```
 
 === "Python"
 
     ```python title="knapsack.py"
-    def knapsack_dp_comp(wgt, val, cap):
+    def knapsack_dp_comp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
         """0-1 背包：状态压缩后的动态规划"""
         n = len(wgt)
         # 初始化 dp 表
@@ -420,7 +613,7 @@ $$
                     dp[c] = dp[c]
                 else:
                     # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
-                    dp[c] = max(dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1], dp[c])
+                    dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
         return dp[cap]
     ```
 
@@ -451,7 +644,26 @@ $$
 === "C#"
 
     ```csharp title="knapsack.cs"
-    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
+    /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+    int knapsackDPComp(int[] weight, int[] val, int cap) {
+        int n = weight.Length;
+        // 初始化 dp 表
+        int[] dp = new int[cap + 1];
+        // 状态转移
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            // 倒序遍历
+            for (int c = cap; c > 0; c--) {
+                if (weight[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[c] = dp[c];
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[c] = Math.Max(dp[c], dp[c - weight[i - 1]] + val[i - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[cap];
+    }
     ```
 
 === "Swift"