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chapter_backtracking/permutations_problem/index.html

@@ -3476,7 +3476,7 @@
 
 <!-- Page content -->
 <h1 id="132">13.2 &nbsp; 全排列问题<a class="headerlink" href="#132" title="Permanent link">&para;</a></h1>
-<p>全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。</p>
+<p>全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出其中元素的所有可能的排列。</p>
 <p>表 13-2 列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。</p>
 <p align="center"> 表 13-2 &nbsp; 全排列示例 </p>
 
@@ -3507,11 +3507,11 @@
 <h2 id="1321">13.2.1 &nbsp; 无相等元素的情况<a class="headerlink" href="#1321" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <div class="admonition question">
 <p class="admonition-title">Question</p>
-<p>输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。</p>
+<p>输入一个整数数组，其中不包含重复元素，返回所有可能的排列。</p>
 </div>
-<p>从回溯算法的角度看，<strong>我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果</strong>。假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 2, 3]\)</span> ，如果我们先选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span>、再选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span>、最后选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，则获得排列 <span class="arithmatex">\([1, 3, 2]\)</span> 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。</p>
+<p>从回溯算法的角度看，<strong>我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果</strong>。假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 2, 3]\)</span> ，如果我们先选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，再选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span> ，最后选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，则获得排列 <span class="arithmatex">\([1, 3, 2]\)</span> 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。</p>
 <p>从回溯代码的角度看，候选集合 <code>choices</code> 是输入数组中的所有元素，状态 <code>state</code> 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，<strong>因此 <code>state</code> 中的所有元素都应该是唯一的</strong>。</p>
-<p>如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 <code>state</code> 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。</p>
+<p>如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一棵递归树，树中的每个节点代表当前状态 <code>state</code> 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。</p>
 <p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="全排列的递归树" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" /></a></p>
 <p align="center"> 图 13-5 &nbsp; 全排列的递归树 </p>
 
@@ -3519,15 +3519,15 @@
 <p>为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 <code>selected</code> ，其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择，并基于它实现以下剪枝操作。</p>
 <ul>
 <li>在做出选择 <code>choice[i]</code> 后，我们就将 <code>selected[i]</code> 赋值为 <span class="arithmatex">\(\text{True}\)</span> ，代表它已被选择。</li>
-<li>遍历选择列表 <code>choices</code> 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。</li>
+<li>遍历选择列表 <code>choices</code> 时，跳过所有已被选择的节点，即剪枝。</li>
 </ul>
 <p>如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。</p>
 <p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="全排列剪枝示例" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></a></p>
 <p align="center"> 图 13-6 &nbsp; 全排列剪枝示例 </p>
 
-<p>观察图 13-6 发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span> 。</p>
+<p>观察图 13-6 发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 减小至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span> 。</p>
 <h3 id="2">2. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 <code>backtrack()</code> 函数中。</p>
+<p>想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短整体代码，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将它们展开在 <code>backtrack()</code> 函数中：</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Python</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Java</label><label for="__tabbed_1_4">C#</label><label for="__tabbed_1_5">Go</label><label for="__tabbed_1_6">Swift</label><label for="__tabbed_1_7">JS</label><label for="__tabbed_1_8">TS</label><label for="__tabbed_1_9">Dart</label><label for="__tabbed_1_10">Rust</label><label for="__tabbed_1_11">C</label><label for="__tabbed_1_12">Zig</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -3930,20 +3930,20 @@
 <p>输入一个整数数组，<strong>数组中可能包含重复元素</strong>，返回所有不重复的排列。</p>
 </div>
 <p>假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 1, 2]\)</span> 。为了方便区分两个重复元素 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，我们将第二个 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 记为 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 。</p>
-<p>如图 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。</p>
+<p>如图 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半是重复的。</p>
 <p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_ii.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="重复排列" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii.png" /></a></p>
 <p align="center"> 图 13-7 &nbsp; 重复排列 </p>
 
-<p>那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，<strong>因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝</strong>，这样可以进一步提升算法效率。</p>
+<p>那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，<strong>因为生成重复排列的搜索分支没有必要，应当提前识别并剪枝</strong>，这样可以进一步提升算法效率。</p>
 <h3 id="1_1">1. &nbsp; 相等元素剪枝<a class="headerlink" href="#1_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>观察图 13-8 ，在第一轮中，选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝掉。</p>
+<p>观察图 13-8 ，在第一轮中，选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
 <p>同理，在第一轮选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 之后，第二轮选择中的 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
-<p>本质上看，<strong>我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次</strong>。</p>
+<p>从本质上看，<strong>我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次</strong>。</p>
 <p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="重复排列剪枝" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" /></a></p>
 <p align="center"> 图 13-8 &nbsp; 重复排列剪枝 </p>
 
 <h3 id="2_1">2. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#2_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 <code>duplicated</code> ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。</p>
+<p>在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 <code>duplicated</code> ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝：</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:12"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_12" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Python</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Java</label><label for="__tabbed_2_4">C#</label><label for="__tabbed_2_5">Go</label><label for="__tabbed_2_6">Swift</label><label for="__tabbed_2_7">JS</label><label for="__tabbed_2_8">TS</label><label for="__tabbed_2_9">Dart</label><label for="__tabbed_2_10">Rust</label><label for="__tabbed_2_11">C</label><label for="__tabbed_2_12">Zig</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -4366,10 +4366,10 @@
 <p>假设元素两两之间互不相同，则 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个元素共有 <span class="arithmatex">\(n!\)</span>  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的列表，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间。<strong>因此时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n!n)\)</span></strong> 。</p>
 <p>最大递归深度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。<code>selected</code> 使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间。同一时刻最多共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个 <code>duplicated</code> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间。<strong>因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span></strong> 。</p>
 <h3 id="3">3. &nbsp; 两种剪枝对比<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>请注意，虽然 <code>selected</code> 和 <code>duplicated</code> 都用作剪枝，但两者的目标是不同的。</p>
+<p>请注意，虽然 <code>selected</code> 和 <code>duplicated</code> 都用于剪枝，但两者的目标不同。</p>
 <ul>
-<li><strong>重复选择剪枝</strong>：整个搜索过程中只有一个 <code>selected</code> 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是防止 <code>choices</code> 中的任一元素在 <code>state</code> 中重复出现。</li>
-<li><strong>相等元素剪枝</strong>：每轮选择（即每个调用的 <code>backtrack</code> 函数）都包含一个 <code>duplicated</code> 。它记录的是在本轮遍历（即 <code>for</code> 循环）中哪些元素已被选择过，作用是保证相等的元素只被选择一次。</li>
+<li><strong>重复选择剪枝</strong>：整个搜索过程中只有一个 <code>selected</code> 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，其作用是防止 <code>choices</code> 中的任一元素在 <code>state</code> 中重复出现。</li>
+<li><strong>相等元素剪枝</strong>：每轮选择（每个调用的 <code>backtrack</code> 函数）都包含一个 <code>duplicated</code> 。它记录的是在本轮遍历（<code>for</code> 循环）中哪些元素已被选择过，其作用是保证相等的元素只被选择一次。</li>
 </ul>
 <p>图 13-9 展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。</p>
 <p><a class="glightbox" href="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="两种剪枝条件的作用范围" class="animation-figure" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png" /></a></p>