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24
chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html
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@@ -2461,7 +2461,7 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 基于分治实现二分
1. &nbsp; 基于分治实现二分查找
</a>
</li>
@@ -3307,7 +3307,7 @@
<li class="md-nav__item">
<a href="#1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 基于分治实现二分
1. &nbsp; 基于分治实现二分查找
</a>
</li>
@@ -3371,38 +3371,38 @@
<p>我们已经学过，搜索算法分为两大类。</p>
<ul>
<li><strong>暴力搜索</strong>：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</li>
<li><strong>自适应搜索</strong>：它利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 甚至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 的时间复杂度。</li>
<li><strong>自适应搜索</strong>：它利用特有的数据组织形式或先验信息，时间复杂度可达到 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 甚至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</li>
</ul>
<p>实际上，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的</strong>，例如二分查找和树。</p>
<p>实际上，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 的搜索算法通常是基于分治策略实现的</strong>，例如二分查找和树。</p>
<ul>
<li>二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。</li>
<li>树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。</li>
<li>树是分治思想的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。</li>
</ul>
<p>二分查找的分治策略如下所示。</p>
<ul>
<li><strong>问题可以被分解</strong>：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。</li>
<li><strong>子问题是独立的</strong>：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。</li>
<li><strong>问题可以分解</strong>：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。</li>
<li><strong>子问题是独立的</strong>：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受其他子问题的影响。</li>
<li><strong>子问题的解无须合并</strong>：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。</li>
</ul>
<p>分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，<strong>而分治搜索每轮可以排除一半选项</strong>。</p>
<h3 id="1">1. &nbsp; 基于分治实现二分<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="1">1. &nbsp; 基于分治实现二分查找<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>在之前的章节中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。</p>
<div class="admonition question">
<p class="admonition-title">Question</p>
<p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> ，数组中所有元素都是唯一的，请查找元素 <code>target</code> 。</p>
<p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> ，其中所有元素都是唯一的，请查找元素 <code>target</code> 。</p>
</div>
<p>从分治角度，我们将搜索区间 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 对应的子问题记为 <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> 。</p>
<p>从原问题 <span class="arithmatex">\(f(0, n-1)\)</span> 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。</p>
<p>以原问题 <span class="arithmatex">\(f(0, n-1)\)</span> 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。</p>
<ol>
<li>计算搜索区间 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 的中点 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，根据它排除一半搜索区间。</li>
<li>递归求解规模减小一半的子问题，可能为 <span class="arithmatex">\(f(i, m-1)\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(f(m+1, j)\)</span> 。</li>
<li>循环第 <code>1.</code> 和 <code>2.</code> 步，直至找到 <code>target</code> 或区间为空时返回。</li>
<li>循环第 <code>1.</code> 步和第 <code>2.</code> 步，直至找到 <code>target</code> 或区间为空时返回。</li>
</ol>
<p>图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 <span class="arithmatex">\(6\)</span> 的分治过程。</p>
<p><a class="glightbox" href="../binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="二分查找的分治过程" class="animation-figure" src="../binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 12-4 &nbsp; 二分查找的分治过程 </p>
<p>在实现代码中，我们声明一个递归函数 <code>dfs()</code> 来求解问题 <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> 。</p>
<p>在实现代码中，我们声明一个递归函数 <code>dfs()</code> 来求解问题 <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> ：</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Python</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Java</label><label for="__tabbed_1_4">C#</label><label for="__tabbed_1_5">Go</label><label for="__tabbed_1_6">Swift</label><label for="__tabbed_1_7">JS</label><label for="__tabbed_1_8">TS</label><label for="__tabbed_1_9">Dart</label><label for="__tabbed_1_10">Rust</label><label for="__tabbed_1_11">C</label><label for="__tabbed_1_12">Zig</label></div>
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